水力学1(3)

1第三讲第三节重力作用下液体的平衡在工程实际中，常常见到液体处于与地面间无相对运动的静止状态，这时液体所受到的质量力仅为重力。属于这种情况的还有相对地面作匀速直线运动的平衡液体。两种平衡液体内部静水压强的分布规律是一致的，下面以静止液体为例进行讨论。一、水静力学基本方程设静止液体如图所示，液体所受到的质量力只有重力，即单位质量力在各坐标轴方向上的分量为0yxff，gfz2代入欧拉方程得ρgdzdp或0ρgdpdz对于同种液体为常数，所以在液体中对上式积分可得Cρgpzρgp该式就是水静力学基本方程。式中的z与都具有长度量纲称为计算在水力学中，习惯将z称为计算点的位置水头，ρgp点的压强水头。ρgpzC00将自由表面的z=z0，p=p0代入上式可得积分常数3该式为水静力学基本方程的另一种形式。它是计算重力作用下的平衡液体中任一点静水压强的基本公式。如图，液面下任一点A处的水深h=z0-z将代入，注意h=z0-z整理得ρgpzC00Cρgpzρghpp0水静力学基本方程讨论：两种形式的水静力学基方程实质是一样的，在质量力仅为重力作用的同种相互连通的平衡液体中，它们可以反映以下规律：4（2）液体中任一点的静水压强都等于液面压强与从该点到液面的单位面积上液体的重量gh之和，且液面压强的任何变化量，都会等值地传到液体中的各点。必须强调，水静力学基本方程是在质量力仅为重力作用的同种相互连通的平衡液体中建立的。如果平衡液体的质量力仅为重力、同种、相互连通的三个条件不能同时满足，一般就不能直接应用上述规律。（3）液体中的等压面为一系列位置水头z或水深h等于常数的等深水平面。（1）液体中任一点的位置水头z和压强水头p/g之和都相等，或者说静水压强随水深呈线性规律变化。5例如6【例21】密度为和的两种液体，盛装在如图所示的容器中，各液面深度如图，两端自由液面压强均为p0。若为已知，求及容器底部A点的压强pA。bρaρ【解】先求根据同种相互连通的静止液体中等压面为水平面的规律可知，沿两种液体的分界面所作的11-22水平面为等压面，故由水静力学方程得aρ)hg(hρpghρp23b01a0123bahhhρρaρbρ7再求pA由于已为已知量，故求pA既可从连通器的左端进行，也可从连通器的右端进行aρ由水静力学基本方程得3b0Aghρpp2b1a0Aghρghρpp8（一）绝对压强、相对压强和真空压强二、压强的表示方法和量度单位1绝对压强压强通常采用两种计算基准和三种方法表示。以没有气体分子存在的绝对真空状态为零点起算的压强称为绝对压强，以p'表示如图（a）、（b）中点A和点B的绝对压强分别为AaAρghppB0Bρghpp92相对压强以当地大气压为零点起算的压强称为相对压强，以p表示。当地大气压通常以表示，则相对压强与绝对压强的关系为appp对于液面与大气相通的敞口静止液体，若采用相对压强计算时，上式中的p0=0，则ρghp这就是敞口的静止液体中任一点相对压强的计算公式。上图（a）、（b）中，点A和点B的相对压强分别为AAρghp和aB0Bpρghpp10工程中采用测压表（计）测得的压强一般都是相对压强，故相对压强又常称为表压。由于大气压在地球表面处处都存在，所以实用中通常所说的压强均指相对压强。3真空压强绝对压强不可能出现负值，而相对压强则可能是正值或负值。当某点的绝对压强p'小于当地大气压pa，或其相对压强p0时，则称该点处于真空状态或负压状态。真空状态的真空程度用当地大气压pa与该点的绝对压强p'的差值来衡量，这一差值称为真空压强，以pv表示。真空压强与绝对压强、相对压强的关系为ppppav11上图（b）中，若点B的绝对压强aBpp则BB0aBaBvp)ρghp(pppp最大真空压强问题：由式可知，真空压强pv愈大，绝对压强p'就愈小。理论上，最大的真空压强发生在绝对压强为零的状态，这时，这种状态称为绝对真空状态。ppppavaMvpp液体所能达到的最大真空压强为当地大气压强与相应液体温度下的汽化压强之差。（二）压强的量度单位在工程计算中，常用的压强量度单位有三种1应力单位以单位面积上所受的力来表示压强大小的。其国际单位为Pa或kPa和Mpa。在工程单位制中，其单位为kgf/m2或kgf/cm2。122液柱单位工程中，常用的液柱高度为水柱高度和汞柱高度，其单位为mH2O、mmH2O和mmHg。1mH2O产生的压强为9.8kPa和1000kgf/m2；1mmH2O产生的压强为9.8Pa和1kgf/m2;1mmHg产生的压强为133.28Pa和13.6kgf/m2.根据的关系可知，任何一种压强（包括绝对压强、相对压强和真空压强）的大小，都可以等效地用某种已知容重液体的液柱高度来表示。用水柱高度表示的真空压强，即真空压强水头ρgphvv又称为真空度。133大气压单位大气压单位是以大气压的倍数来表示压强大小工程中为了计算方便，一般不用标准大气压，而采用工程大气压（at），并规定工程实际中所提到的大气压，一般都按工程大气压考虑，本课程除特殊指明外，也采用这一提法。国际上规定，1标准大气压（atm）为1atm=101325Pa=101.325kPa=1033kgf/cm2，相当于760mmHg和1033mH2O产生的压强。1at=98kPa=1kgf/cm2≈0.1MPa,相当于10mH2O和735mmHg产生的压强。压强的上述三种量度单位是工程实际中经常用到的，必须熟练掌握灵活应用。14【例22】一密闭容器如图所示。若水面的相对压强p0=-44.5kPa，水面下M点的淹没深度h‘=2m，试求（1）容器内水面到测压管水面的铅直距离h值；（2）水面下M点的绝对压强、相对压强及真空压强（要求用三种单位表示）。【解】（1）求h值图中1-1水平面为相对压强为零的等压面,故0ρghp04.54m9.844.5ρgph0（2）求M点的压强15应力单位：水柱单位：②绝对压强水柱单位：24.9KPa29.844.5hρgpp0M大气压单位：0.254at9824.9pMO2.54mH9.824.9ρgph2MM或O2.54mH0.254)(10h2M①相对压强应力单位：73.1KPa9824.9pppaMM大气压单位：0.746at10.254pppaMMO7.46mH0.74610h2M16【例2-3】如图，左侧玻璃管顶端封闭，水面气体的绝对压强p'01=0.75at,右侧玻璃管倒插在汞槽中，汞柱上升高度h2=120mm,水面下A点的淹没深应力单位：大气压单位：水柱单位：③真空压强24.9KPappMvM0.254atppMMvO2.54mHhh2MMv度hA=2m.试求（1）容器内水面的绝对压强p'02和真空压强p02v；（2）A点的相对压强pA；（3）左侧管内水面超出容器内水面的高度h1。17【解】（1）求p'02和p02v气体的容重很小，在小范围内可以忽略气柱产生的压强，故本题中右侧汞柱液面的压强就是容器内液面的压强p‘02,由水静力学基本方程和等压面特性得a2Hg02pghρp82kPa0.12133.2898ghρpp2Hga0216kPa8298ppp02a02v若用汞柱高度表示120mmhgρ)ghρ(ppgρpph2Hg2HgaaHg02a02v（2）求pA16kPapp02v02183.6kPa29.816ρghppA02A（3）求h1如图容器内水面与左侧管内B点在同一等压面上，则02101pρghpO0.867mH9.8980.7582ρpph20102119三、水静力学基本方程的意义1．几何意义Cρgpz测压管水头概念两根下端与容器液体相通、上端开口的细玻璃管。这时，在1、2两点静水压强的作用下，液体将沿细玻璃管上升至一定高度h1和h2，从玻璃管内看液体，h1、h2与1、2两点的相对压强p1、p2的如图液面的相对压强p00，在容器侧壁任一点1和点2处安装关系分别为ρgph11ρgph22和20可见，1、2两点的相对压强值可用玻璃管内的液柱高度h1和h2来表示。一端与测压点相通，另一端与大气相通，能直接根据管中液柱的上升高度测得测压点相对压强大小的装置称为测压管。管内液面到测压点间的铅直高度称为测压管高度（压强水头）。在水力学中，习惯将液体中某点的位置水头z与该点的测压管高度（即相对压强水头）p/ρg之和称为测压管水头。几何意义:在质量力仅为重力作用的同种相互连通的平衡液体中，任一点的测压管水头都相等。即它们的测压管水面为一水平面。2．能量意义位置水头z代表了单位重量液体相对于某一基准面的位置势能，简称为单位位能;21水压强的作用下上升至测压管液面，使该液体质点的位置势能增加压强水头p/ρg代表了单位重量液体相对于某一压强基准（绝对压强或相对压强基准）的压强势能，简称为单位压能。说明：假设在1点处有一质量为dm的液体质点，则dmgz就是该液体质点相对于图中所示基准面0-0的位置势能，即单位位能。当在1点处的容器壁面上安装测压管时，质量为dm的液体质点就会在该点静ρgpdmg1说明静水压强对该液体质点作的功为。液体压强的这种做功本领称为液体的压强势能。ρgpdmg122所以，就是单位重量液体在1点相对于大气压的压强势能，即单位压能。ρgp1由于位能和压能均为势能，所以又将液体的单位位能z与单位压能之和称为单位重量液体的势能，简称单位势能。ρgp1能量意义：在质量力仅为重力作用的同种相互连通的平衡液体中，任意点相对同一位置和压强基准的单位势能都相等。它反映了重力作用下平衡液体中能量的守恒与转换的规律，位能和压能二者等值相互转换，总和不变。小结：1.水静力学基本方程；2.绝对压强、相对压强和真空压强的概念及它们之间的关系；3.水静力学基本方程的几何意义和能量意义。4.作业2：2-3