水力学1(12)

1液体恒定流动量方程是物体动量守恒原理在液体运动中的具体表现，它反映了液体的动量变化与液体和固体边界间作用力的关系。第六节恒定流动量方程第十二讲物理学中的质点系动量定理可表述为：单位时间内质点系动量的变化量一、恒定流动量方程dt)umd(等于该质点系所受到的合外力F即Fdt)umd(现将其应用于恒定液流，建立恒定流动量方程。2在dt时段内，元流段动量的变化量在不可压缩的恒定总流中任取一段元流，如图。其进出口过水断面1-1和2-2的面积分别为dA1和dA2，相应的流速分别为1u2u和.设经过dt时段，该元流段自位置11-22移动到11-22Kd等于流段11-22与流段11-22内液体质点动量的矢量和之差。因为是恒定流，dt时段内其公共流段11-22的动量不会改变，所以该元流段动量的变化Kd就是流段22-22与流段11-11的动量差。)uuρdQdt()uudm(Kd12123对于不可压缩液体，由连续性方程可得，流段22-22与11-11的质量均为，则元流段的动量变化为ρdQdtdm)uuρdQdt()uudm(Kd1212总流的动量变化等于总流中所有元流动量变化的矢量和。如图,将上述元流的动量变化Kd对相应的总流过水断面积分，可得dt时段内I-II总流段的动量变化为QA111A22212)dAuudAuuρdt()dQuuρdt(Kd12在积分式AudAu中，流速u在过水断面上的分布一般难以确定，4所以采用一元流动分析法，即用断面平均流速v代替断面上的流速分布u。这时，与前面引入动能修正系数类似，需引入一个动量修正系数。则积分式可表示为代入式得AβudAuAvvQA111A22212)dAuudAuuρdt()dQuuρdt(Kd12)AβAρdt(βKd11112222vvvvQAA2211vv则由于)βρQdt(βKd1122vvv当计算断面选取在渐变流过水断面时，断面上各点的流速与断面平均流速v的方向基本相同，则由上式可得，为5设作用在I-II总流段上的合外力为.则根据质点系动量定理,由式可得恒定流（总流）动量方程为AvdAuβ2A2与动能修正系数一样，可以证明，该值也大于1，其大小决定于过水断面的流速分布。流速分布愈均匀，值愈接近于1。在一般的渐变流中，1.02~1.05，工程实际中为计算方便，通常取=1.0。)vβvρQdt(βKd1122FFdtKdF)βρQ(β1122vv6如前图，该总流段的控制面为上下游两端的过水断面I-I、II-II和它的侧表面。则恒定流动量方程式就可以表述为：液体作恒定流动时,单位时间控制面内液体动量的变化（流出与流入控制面液体的动量之差）,等于作用在控制面内液体上的合外力（即作用在控制面内液体质点上的所有质量力和作用在该控制面上的所有表面力的合力）。动量方程是个矢量式，在计算中常将其写成沿着某一方向的投影式。如下式在直角坐标系中三个坐标轴方向的投影式为在水力学中，将所研究的总流段成为控制体，其表面称为控制面。7z1z12z2y1y12y2x1x12x2F)vβvρQ(βF)vβvρQ(βF)vβvρQ(β在上述推导过程中，仅仅是从简单的一元流出发，输入和输出动量的只有上、下游两个过水断面。实际上动量方程可以推广应用于流场中任意封闭控制面内的液体。液流（如图）应用动量方程时，可以把管壁及上下游过水断面取为控制面（如图中虚线所示）。这时，对该控制面内液体的动量方程应为FvβρQvβρQvβρQ111333222例如，当对分叉段8二、应用动量方程的注意事项应用恒定流动量方程时应注意以下几点：（1）控制面的选取原则上它在流场中可以任意选取，但为方便计算，实用中控制面一般选为整个液流的边界面（包括液体与固体的接触边界面及液体的自由表面等）和液流的渐变流过水断面.（2）选取投影轴动量方程是矢量式，式中的流速和作用力都是有方向的量，因此建立动量方程时，必须先选定投影轴，并标明其方向，然后将各流速和作用力投影到该投影轴上。与投影轴方向一致的量均为正值，反之则为负值。投影轴的方向可以任意选取，以计算方便为宜。（3）求动量变化动量方程中的动量变化值必须是单位时间流出控制面液体的动量与流入控制面液体的动量之差，切不可颠倒。9在惯性参照系中质量力就是控制面内液体的重力；表面力为过水断面上的动水压力和固体边界对液体的反力（包括固体边界对液体的摩擦阻力）。固体边界对液体的反力常常就是所求解的力，当其方向事先尚不明确时，可以先暂时假定一个方向，若求得该力为正值，表明原假定方向正确，若求得该力为负值，表明该力的实际方向与原假定方向相反。动量方程是水动力学中重要的基本方程之一，它主要用于计算液流与固体边界的相互作用力问题。在应用动量方程时，常常要配合连续性方程和动量方程联合求解。下面结合实例说明动量方程的应用。（4）受力分析动量方程中的合外力为作用在控制面内液体上的质量力和表面力的合力。10【例3-8】水流通过一水平设置的渐变截面弯管如图。已知断面1-1的直径d1==250mm，流速v1=2.45m/s，相对压强p1=1.8at,断面2-2的直径d2=200mm,转角=60。若不计水流阻力,试求水流对此弯管的作用力R。【解】弯管对水流的作用力R'是水流对弯管作用力R的反作用力，故可通动量方程求解R'得到R。作用在控制面内液体的外力有：弯管对水流的作用力R;作用于上、下游两过水断面上的动水压力：P1=p1A1、P2=p2A2和和控制面内水体的重力。由于重力铅直向下，在水平的x轴和y轴方向如图，在水平面内建立平面坐标系xoy，并取渐变流过水断面1-1、2-2及管道边界为控制面。11分量为零；不计水流阻力时，动量修正系数1ββ21所以，分别沿x轴方向和y轴方向建立动量方程可得x221112RcosαApAp)cosαρQ(vvy222RsinαAp00)sinαρQ(v)cosαρQ(cosαApApR122211xvvsinαρQsinαApR222yv8.65kN0.2543.14981.8d4πpAp221111/s0.12m2.450.253.1441πd41Q32121v3.83m/s2.45)0.20.25()dd(AA212211212vvv式中12不计水流阻力时，以通过管轴的水平面为基准面，建立1-1和2-2断面能量方程得2gρgp2gρgp222211vv172.07kPa)9.823.839.822.459.8(18)2g2gρgpρg(p22222112vv5.40kN0.243.14172.07d4πpAp222222将已知数代入前面的公式得6.01kN102.45)os600.12(3.83c10005.40cos608.65R3x4.28kN103.83sin600.1210005.40sin60R3y合力为7.38kN4.286.01)R()R(R222y2x13【例3-9】如图为一滚水坝，上游水位因坝的阻挡而抬高，测得渐变流过水断面1-1处的水深h1=1.5m,下游渐变流过水断面2-2处的水深h2=0.6m,。假设上下游渠底在同一水平面上，并且不计水流阻力。试求水流作用在单位宽度坝面上的水平推力F。合力与水平方向的夹角为35.466.014.28arctgRRarctgθxy故水流对弯管的作用力R的大小为7.38kN，方向与R'相反。及水面和固体边界为控制面。不计水流阻力时，控制面内的水体沿水平方向受到的外力有：【解】如图，取渐变流过水断面1-1、2-214滚水坝对水流的反作用力F'；水流作用在断面1-1和2-2上的动水压力P1和P2；动量修正FPP)ρQ(2112vv)ρQ(PPF1221vv1-1和2-2均为渐变流过水断面，故11.025kN11.51.59.821Aρgh21P1111.764kN10.60.69.821Aρgh21P222以渠底面为基准面0-0，不计水流阻力时，建立1-1、2-2过水断面能量方程得2gh2gh222211vv系数β1=β2=1。则沿流向建立动量方程得151112112122.50.61.5hhAAvvvvv1.833m/s5.250.6)9.8(1.5212.5)h2g(h2211v所以4.583m/s1.8332.52.512vv/s2.750m11.51.8331hAQ31111vv1.70kN101.833)32.750(4.5810001.76411.025F3F'为所求之力F的反作用力，故F的大小为1.70kN，方向与水流方向相同。16（该力为所求之力F的反作用力，故也与平板正交）。控制面内水流的重力与水流方向垂直，故在水平面内建立动量方程时，可不必考虑；不计水头损失时，动量修正系数【例3-10】如图，水自喷嘴水平射向一与其夹角=60的水平光滑平板上（不计摩擦阻力）。若喷嘴出口直径d=25mm，喷射流量Q=33.4L/s，当不计水头损失时，试求射流沿平板两侧的分流流量与及射流对平板的作用力F。1ββ21【解】由于图中的平板为光滑平板，故水流对该平板的作用力F应与平板正交。取A-A、1-1、2-2过水断面及水柱表面和平板边界为控制面，设平板对水流的作用力为F'171Q2Q（1）计算流量沿与平板平行的r轴方向建立动量方程得0ρQvcosαρQρQ2211vv0cosαQ)Q(QQ2111vvv即由于不计水头损失，建立A-A、1-1断面能量方程得2g2g212vv即vv1同理，建立A-A、2-2断面能量方程可求得vv20cosαQ)Q(QQ11vvv25.05L/s2)cos6033.4(12cosαoQ(1Q118F'为所求之力F的反作用力，故F的大小为1.969kN，方向与F'相反.8.35L/s25.0533.4QQQ12（2）计算作用力F沿F方向建立动量方程得FsinαρQ0v68.08m/s0.0253.140.03344πd4Q22v1.969kN1969Nsin6068.080.03341000sinαρQFv解本例题时要注意两点：①当水流的作用面为光滑平面（不计摩擦阻力）时，水流的作用力应与该平面正交；②建立动量方程时要注意选择合适的投影轴方向。本例题若沿着喷嘴出口流速v的方向或垂直v的方向建立动量方程，则由于方程中含有多个未知量，会使求解过程变得十分繁杂。19小结：F)βρQ(β1122vv（2）应用动量方程的注意事项◆控制面的选取◆选取投影轴◆求动量变化◆受力分析作业：3-20，3-22，3-24【例3-11】P52,【例3-12】P53（1）动量方程