2015全国高中数学联赛预赛模拟题9

12015全国高中数学联赛预赛模拟题91.已知离心率为32的椭圆1C的顶点A1、A2恰好是双曲线x23−y2=1的左右焦点，点P是椭圆不同于A1、A2的任意一点，设直线PA1、PA2的斜率分别为k1、k2..⑴求椭圆C1的标准方程；⑵试判断k1·k2.的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；⑶当k1=12时，圆C1：x2+y2−2mx=0被直线PA2截得弦长为455，求实数m的值.解：（1）双曲线1322yx的左右焦点为)0,2(,即21,AA的坐标分别为)0,2(),0,2(.所以设椭圆1C的标准方程为)0(12222babyax,则2a,且ace23,所以3c,从而1222cab,所以椭圆1C的标准方程为11422yx.若是竖放的，则：116422yx(2)设),(00yxP则1142020yx，即412020xy4420x20)2(0000021xyxykk42020xy41.所以21kk的值与点P的位置无关，恒为41.（3）由圆2C：0222mxyx得222)(mymx，其圆心为)0,(2mC，半径为m，由（2）知当211k时，212k，故直线2PA的方程为)2(21xy即022yx，所以圆心为)0,(2mC到直线2PA的距离为522120222mmd，又由已知圆2C：0222mxyx被直线2PA截得弦长为554及垂径定理得圆心)0,(2mC到直线2PA的距离22)552(md，所以22)552(m52m，即022mm，解得2m或1m.所以实数m的值为1或2.22.定义函数ln()kkaxfxx为()fx的k阶函数.（1）求一阶函数1()fx的单调区间；（2）讨论方程2()1fx的解的个数；（3）求证：33231*3ln!123()nneenenN.解：(1)1ln()(0)axfxxx,122ln(1ln)()(0)aaxaxfxxxx令1()0fx,当0a时,.xe当0a时,1()fx无单调区间；当0a时,1()fx的单增区间为(0,),e单减区间为(,)e.当0a时,1()fx的单增区间为(,)e,单减区间为(0,)e.解3HABCDOEFGKMN3.如图，CFBEAD,,分别是锐角ABC的三条高，垂足分别为FED,,.以BC为直径的圆O和AD交于G点，过G的直径的另一端点为K.若FKEK,和BC分别交于M，N.求证：ONOM.证明：∵CFBEAD,,分别是锐角ABC的三条高∴它们必相交于一点，记为H∴H为ABC的垂心连结DEGMGE,,∵GK是⊙O的直径∴90GEM∵90GDM，∴EMDG,,,四点共圆∴GDEGME又∵ECDH,,,四点共圆，∴HCEHDEGDE∴FKEHCEGME，∴GM∥FK∴ONKOMG，∵KONGOM，KOGO，∴ONKOMG，∴ONOM4.已知数列{}nb前n项和23122nSnn.数列{}na满足(2)34()nbnanN，数列{}nc满足nnncab．（1）求数列{}na和数列{}nb的通项公式；（2）求数列{}nc的前n项和nT；（3）若2114ncmm对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）由已知得，当2n时，23))1(21)1(23()2123(221nnnnnSSbnnn又11312b，符合上式．故数列nb的通项公式32nbn又∵(2)34nbna，∴(2)(32)233144()4nbnnna，故数列na的通项公式为nna)41(，（2）1(32)()4nnnncabn，23111114()7()(32)()4444nnSn，……①23411111111()4()7()(35)()(32)()444444nnnSnn，……②①-②得234131111113[()()()()](32)()4444444nnnSn421111()[1()]11443(32)()14414nnn111(32)()24nn，∴121281()334nnnS（3）∵1(32)()4nncn,∴1111131(31)()(32)()()[(32)]4444nnnnnnccnnn119()(1)4nn,当1n时，1nncc；当2n时，1nncc，∴max121()4nccc若2114ncmm对一切正整数n恒成立，则211144mm即可，∴2450mm，即5m或1m．5.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，过点A(a，0)与B(0，－b)的直线与原点的距离为2105．又有直线y＝12x与椭圆C交于D，E两点，过D点作斜率为k的直线l1．直线l1与椭圆C的另一个交点为P，与直线x＝4的交点为Q，过Q点作直线EP的垂线l2．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线l2恒过一定点．BADOEPl1l2yxQ5