虚位移原理习题解答

7－1.在图示机构中，曲柄OA上作用一力偶，其矩为M，另在滑块D上作用水平力F。机构尺寸如图所示。求当机构平衡时，力F与力偶矩M的关系。解设OA杆虚位移为，则A、B、C、D各点虚位移如图，cos2coscos2cosDBABArrrrar由上述各式和虚功方程0DrFM解出2tanFaM7－2.图示桁架中，已知AD=DB=6m，CD=3m，节点D处载荷为P。试用虚位移原理求杆3的内力。解B、C、D各点虚位移如图所示，cos,2sincosCDcBrrrr代入虚功方程03BDrFrP解得杆3的内力PPFcot237－3.组合梁由铰链C铰接AC和CE而成，载荷分布如图所示。已知跨度l=8m，P=4900N，均布力q=2450N/m，力偶矩M=4900Nm；求支座反力。N2450N14700N2450EBAFFF，，7－4组合梁由水平梁AC、CD组成，如图所。已知：F1=20kN，F2=12kN，q=4kN/m，M=2kN·m。不计梁自重，试求：固定端A和支座B处的约束力。组合梁由水平梁AC、CD组成，如图12－16a所。已知：F1=20kN，F2=12kN，q=4kN/m，M=2kN·m。不计梁自重，试求：固定端A和支座B处的约束力。(a)(b)F1AECMF2D1m1m1m0.5m0.5mqB60F1FNBrDAECMF2DHFHKBrBrKFK(c)F1AECMF2DFHFKHKBMArErHrCrKrDFAxF1AECMF2DHFHFNBKBFKrAxrErHrKrD(d)(e)图12－16例题12－5图解：组合梁为静定结构，其自由度为零，不可能发生虚位移。为能应用虚位移原理确定A、B二处的约束力，可逐次解除一个约束，代之以作用力，使系统具有一个自由度，并解除约束处的正应力视为主动力；分析系统各主动力作用点的虚位移以及相应的虚功，应用虚位移原理建立求解约束力的方程。为方便计算，可事先算出分布载荷合力大小及作用点。对于本例：kN41qFFKH各作用点如图12－16b所示，且HC=CK=0.5m。1．计算支座B处的约束力解除支座B，代之以作用力FNB，并将其视为主动力。此时，梁CD绕点C转动，系统具有一个自由度。设梁CD的虚位移为δ，则各主动力作用点的虚位移如图12－16b所示。应用虚位移原理，有0δFW，0δ30sinδδδ2NDBBKKrFMrFrF（a）图12－16b中的几何关系，δ2δ;δδ;δ5.0δDBKrrr将上述各式代入虚位移原理表达式（a），有0δ)5.0(2NFMFFBK（b）因为0δ，于是，由式（b）求得支座B的约束力为kN125.02NMFFFKB（c）2．求固定端A处的约束力偶F1AECMF2DHFHKBrDrErKFKrCrHrAyFAy解除A端的转动约束，使之成为允许转动的固定铰支座，并代之以约束力偶MA，将MA视为主动力偶（图12－16c）。这时，梁AC和CD可分别绕点A、B转动，系统具有一个自由度。设梁AC有一虚位移δβ，则梁AC、CD上各主动力作用点相应的虚位移如图12－16c所示。根据虚位移原理0δFW，可得下述方程0δ60cosδδδδδ21MrFrFrFrFMDKKHHEA（d）根据图12－6c中所示之几何关系，各主动力作用点的虚位移分别为δ2δδ,δδ5.0δδ2δ,δ5.1δ,δ5.0δDKHErrrr代入式（d），得到0δ)25.15.0(21MFFFFMKHA（e）由于δβ≠0，所以mkN1225.15.021MFFFFMKHA（逆时针转向）（f）3．求固定端A处的水平约束力解除A端的水平约束，使之变为只能水平移动、而不能铅直移动和自由转动的新约束（图12－16d），视水平约束力FAx为主动力。这时系统具有一个自由度，使梁AC和CD只能沿水平方向平动，设A点有一水平虚位移δxA，则其他主动力作用点，将产生如图12－16d所示的虚位移。应用虚位移原理，写出060sinδδ2DAAxrFxF（g）由于系统水平平动，所以δxA=δrD，故上式为0δ)60sin(2AAxxFF（h）因为δxA≠0，所以kN3660sin2FFAx（i）4．求固定端A处的铅垂约束力解除A端的铅直约束，使之变成只能铅直移动，而不能水平移动和自由转动的新约束（图12－16e），并视铅垂约束力FAy为主动力。这时，梁AB平动，梁CD绕点B转动，系统具有一个自由度。设点A有一铅垂虚位移δyA，其余各主动力作用点及梁CD的虚位移如图12－16e所示。应用虚位移原理，有0δδ30sinδδδδ21MrFrFrFrFyFDKKHHEAAy（j）由于梁AC铅垂平动，梁CD绕点B转动，于是，由图12－16e得到：ACAKACHEyCBryryrrrδδδ,δ5.0δδδδδ将上述各式代入式（j），得0δ)30sin5.0(21AKHAyyMFFFFF（k）因为0δAy，故有kN225.05.021MFFFFFKHAy7－5.试求图示梁－桁架组合结构中1、2两杆的内力。已知kN41F，kN52F。1．求杆1内力，给图（a）虚位移，虚功表达式为0cosδcosδδδ1N1N21GFEDrFrFyFyF因为δ3δDy，δ2δEy，δ5δFr，δ5δGr所以053δ553δ5δ2δ31N1N21FFFF211N236FFF31132211NFFFkN（受拉）FrDyEDCGN1FN1F2FEyBGrFA1F5m3m2．求杆2内力，给图（b）虚位移，则δ4δHr，δ3δDrδ2δEr，δ5δGrFrδ，Grδ在FG方向投影响相等，即cosδcosδGFrrGFrrδδ虚功式0sinδδδδN222N1FEHDrFrFrFrF即054524δ3N222N1θFθFθFθF2223821N2FFFkN4112NFkNFrFDrC2FErHr1FBAN2FGrN2F5mDHGE7－6.在图示结构中，已知F=4kN，q=3kN/m，M=2kN·m，BD=CD，AC=CB=4m，θ=30º。试求固定端A处的约束力偶MA与铅垂方向的约束力FAy。解：解除A处约束力偶，系统的虚位移如图（a）。0δsinδ2δDArFrqM（1）其中：δ1δr；δ4δδδBDCrrr代入式（1）得：0δ)sin42(FqMAmkN22sin4qFMA解除A处铅垂方向位移的约束，系统的虚位移如图（b）。应用虚位移原理：0δδ2cosδBCDAAyMrFrF（2）其中：BCCArrδcos4δδ；BCDrδ2δ代入式（2）得：0δ)22coscos4(BCAyMFF；kN577.030cos41MFFAy7－7.图示结构由三个刚体组成，已知F=3kN，M=1kN·m，l=1m。试求支座B处的约束力。解：解除B处约束，系统的虚位移如图（a）。应用虚位移原理：ABCDMFqθABCDMFqθMArCrDrBrBCrCrAFAyrBO（a）（b）rDABCDF3llE2llllMABCDF3llE2llllMCErBrCrErF（a）OFB0δδsinδFCEBBrFMrF（1）其中：101sin；CEFElrrδ4δ2δ；CEClrδ23δ；CECBlrlrδ23δ10δ代入式（1）得：0δ)2(CEBlFMlF；kN52lFMFB7－8.在图示刚架中，已知F=18kN，M=4.5kN·m，l1=9m，l2=12m，自重不计。试求支座B处的约束力。解：解除B处水平方向位移的约束，系统的虚位移如图（a）。应用虚位移原理：0δδFBxBxrFrF（1）其中：DBDBBxlOBrδ2δδ2；DBDODrδδ；DBDFllADrrδδδ22代入式（1）得：0δ)2(22DBBxlFlFkN92FFBx解除B处铅垂方向位移的约束，系统的虚位移如图（b）。应用虚位移原理：0δδδCEFByByMrFrF（2）其中：DBDBBylABrδ2δδ1；DBDODrδδ；DBDFllADrrδδδ22CEDBEOEAErδδδ；DBCEOEAEδδl2ABCDFl1El1l1l1Ml2ABCDFl1El1l1l1MOrFrDrErBxrCFBxFByrByOCErFrDrErC（a）（b）DBDB且：15lAE；125lOE；则：DBCEδ2δ代入式（2）得：0δ)22(21DBByMlFlF；kN5.112212lMFlFBy