2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案学案38直接证明与间接证明

第1页共9页学案38直接证明与间接证明导学目标：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．自主梳理1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P表示已知条件，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．自我检测1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．(2011·揭阳模拟)用反证法证明“如果ab，那么3a3b”的假设内容应是()A.3a＝3bB.3a3bC.3a＝3b且3a3bD.3a＝3b或3a3b3．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A．|a－c|≤|a－b|＋|c－b|B．a2＋1a2≥a＋1aC.a＋3－a＋1a＋2－aD．|a－b|＋1a－b≥24．(2010·广东)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：第2页共9页那么d⊗(a⊕c)等于()A．aB．bC．cD．d5．(2011·东北三省四市联考)设x、y、z∈R＋，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a、b、c三数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2探究点一综合法例1已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥13(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.变式迁移1设a，b，c0，证明：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.探究点二分析法例2(2011·马鞍山月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc.变式迁移2已知a0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.探究点三反证法例3若x，y都是正实数，且x＋y2，第3页共9页求证：1＋xy2与1＋yx2中至少有一个成立．变式迁移3若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.转化与化归思想的应用例(12分)(2010·上海改编)若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m.(1)若x2－1比1远离0，求x的取值范围．(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2abab.多角度审题(1)本题属新定义题，根据“远离”的含义列出不等式，然后加以求解．(2)第(2)小题，实质是证明不等式|a3＋b3－2abab||a2b＋ab2－2abab|成立．证明时注意提取公因式及配方法的运用．【答题模板】(1)解由题意得||x2－1＞1，即x2－1＞1或x2－1＜－1.[2分]由x2－1＞1，得x2＞2，即x＜－2或x＞2；由x2－1＜－1，得x∈∅.综上可知x的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．[4分](2)证明由题意知即证||a3＋b3－2abab＞||a2b＋ab2－2abab成立．[6分]∵a≠b，且a、b都为正数，∴||a3＋b3－2abab＝||a32＋b32－2a3b3＝||a3－b32＝(aa－bb)2，||a2b＋ab2－2abab＝||aba＋b－2ab＝ab(a－b)2＝(ab－ba)2，[8分]即证(aa－bb)2－(ab－ba)2＞0，即证(aa－bb－ab＋ba)(aa－bb＋ab－ba)＞0，需证[]a－ba＋b[]a－ba＋b＞0，[10分]即证(a＋b)(a－b)2＞0，∵a、b都为正数且a≠b，∴上式成立．故原命题成立．[12分]【突破思维障碍】1．准确理解题意，提炼出相应不等式是解决问题的关键．2．代数式|a3＋b3－2abab|与|a2b＋ab2－2abab|中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便．【易错点剖析】第4页共9页1．推理论证能力较差，绝对值符号不会去．2．运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错．1．综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论．即由因导果．2．分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．即执果索因，用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法．3．用反证法证明问题的一般步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，即结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数2．(2011·济南模拟)a，b，c为互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是()A．abcB．bcaC．bacD．acb3．设a、b、c∈(0，＋∞)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR0”是“P、Q、R同时大于零”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件4．(2010·上海普陀2月统考)已知a、b是非零实数，且ab，则下列不等式中成立的是()A.ba1B．a2b2C．|a＋b||a－b|D.1ab21a2b5．(2011·厦门月考)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·江苏前黄高级中学模拟)某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)||x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|12.那么他的反设应该是______________________________．第5页共9页7．对于任意实数a，b定义运算a*b＝(a＋1)(b＋1)－1，给出以下结论：①对于任意实数a，b，c，有a*(b＋c)＝(a*b)＋(a*c)；②对于任意实数a，b，c，有a*(b*c)＝(a*b)*c；③对于任意实数a，有a*0＝a.则以上结论正确的是________．(写出你认为正确的结论的所有序号)8．(2011·揭阳模拟)已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题：①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中命题正确的是________(填序号)．三、解答题(共38分)9．(12分)已知非零向量a、b，a⊥b，求证：|a|＋|b||a－b|≤2.10．(12分)(2011·宁波月考)已知a、b、c0，求证：a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．11．(14分)(2011·宁波月考)已知a、b、c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14.第6页共9页学案38直接证明与间接证明自主梳理1．(1)①推理论证成立(2)①要证明的结论充分条件2．不成立矛盾自我检测1．A[由分析法的定义可知．]2．D[因为3a3b的否定是3a≤3b，即3a＝3b或3a3b.]3．D[D选项成立时需得证a－b0.A中|a－b|＋|c－b|≥|(a－b)－(c－b)|＝|a－c|，B作差可证；C移项平方可证．]4．A[由所给的定义运算知a⊕c＝c，d⊗c＝a.]5．C[a＋b＋c＝x＋1y＋y＋1z＋z＋1x≥6，因此a、b、c至少有一个不小于2.]课堂活动区例1解题导引综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，再进一步得出结论．证明∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∴3a2＋3b2＋3c2≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.∴a2＋b2＋c2≥13(a＋b＋c)2；∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥ab＋bc＋ca＋2(ab＋bc＋ca)，∴(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)．∴原命题得证．变式迁移1证明∵a，b，c0，根据基本不等式，有a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.三式相加：a2b＋b2c＋c2a＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.例2解题导引当所给的条件简单，而所证的结论复杂，一般采用分析法．含有根号、对数符号、绝对值的不等式，若从题设不易推导时，可以考虑分析法．证明要证lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc，只需证lga＋b2·b＋c2·c＋a2lg(a·b·c)，第7页共9页只需证a＋b2·b＋c2·c＋a2abc.(中间结果)因为a，b，c是不全相等的正数，则a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，c＋a2≥ca0.且上述三式中的等号不全成立，所以a＋b2·b＋c2·c＋a2abc.(中间结果)所以lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc.变式迁移2证明要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只要证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.∵a0，故只要证a2＋1a2＋22≥a＋1a＋22，即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22a＋1a＋2，从而只要证2a2＋1a2≥2a＋1a，只要证4a2＋1a2≥2a2＋2＋1a2，即a2＋1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．例3解题导引(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．(2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误．证明假设1＋xy2和1＋yx2都不成立，则有1＋xy≥2和1＋yx≥2同时成立，因为x0且y0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y2相矛盾，因此1＋xy2与1＋yx2中至少有一个