2015届高考数学2-10变化率与导数导数的计算题组训练理(含14年优选题,解析)新人教A版

1第10讲变化率与导数、导数的计算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()．A．－1B．－2C．2D．0解析f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.答案B2.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝()．A．2B．6C．－2D．4解析如图可知，f(5)＝3，f′(5)＝－1，因此f(5)＋f′(5)＝2.答案A3．(2014·济南质检)设曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝()．A．2B．－2C．－12D.12解析∵y′＝x－1－x＋1x－12＝－2x－12，∴y′|x＝3＝－23－12＝－12，∴－a＝2，即a＝－2.答案B24．已知曲线y＝14x2－3lnx的一条切线的斜率为－12，则切点横坐标为()．A．－2B．3C．2或－3D．2解析设切点坐标为(x0，y0)，∵y′＝12x－3x，∴＝12x0－3x0＝－12，即x20＋x0－6＝0，解得x0＝2或－3(舍)．答案D5．(2014·湛江调研)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()．A.13B.12C.23D．1解析y′|x＝0＝(－2e－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1,0)，23，23，故围成的三角形的面积为12×1×23＝13.答案A二、填空题6．已知函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4的值为________．解析∵f′(x)＝－f′π4sinx＋cosx，∴f′π4＝－f′π4sinπ4＋cosπ4，∴f′π4＝2－1，∴fπ4＝(2－1)cosπ4＋sinπ4＝1.答案17．(2013·南通一调)曲线f(x)＝f′1eex－f(0)x＋12x2在点(1，f(1))处的切线方程为________．解析f′(x)＝f′1eex－f(0)＋x⇒f′(1)＝f′1ee1－f(0)＋1⇒f(0)＝1.在函数f(x)＝f′1eex－f(0)x＋12x2中，令x＝0，则得f′(1)＝e.所以f(1)＝e－12，所以f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋f(1)＝ex－12，即y＝ex－12.答案y＝ex－1238．若以曲线y＝13x3＋bx2＋4x＋c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围是________．解析y′＝x2＋2bx＋4，∵y′≥0恒成立，∴Δ＝4b2－16≤0，∴－2≤b≤2.答案[－2,2]三、解答题9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得f0＝b＝0，f′0＝－aa＋2＝－3，解得b＝0，a＝－3或1.(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)0，即4a2＋4a＋10，∴a≠－12.∴a的取值范围是－∞，－12∪－12，＋∞.10．已知函数f(x)＝x3－ax2＋10.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)0成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f′(x)＝3x2－2x，f(2)＝14，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝f′(2)＝8，∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－14＝8(x－2)，即8x－y－2＝0.(2)由已知得ax3＋10x2＝x＋10x2，设g(x)＝x＋10x2(1≤x≤2)，g′(x)＝1－20x3，∵1≤x≤2，∴g′(x)0，∴g(x)在[1,2]上是减函数．g(x)min＝g(2)＝92，∴a92，即实数a的取值范围是92，＋∞.4能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·北京西城质检)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()．A．1B．3C．－4D．－8解析依题意，得P(4,8)，Q(－2,2)．由y＝x22，得y′＝x.∴在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.①在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.②联立①，②得点A(1，－4)．答案C2．已知f(x)＝logax(a1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a＋1)，则()．A．ABCB．ACBC．BACD．CBA解析记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝fa＋1－faa＋1－a，表示直线MN的斜率，A＝f′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率；C＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．由图象得，ABC.答案A二、填空题3．(2014·武汉中学月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为________．解析f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1，∴x1·x2·…·x2012＝12×23×34×…×20112012×20122013＝12013，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x20125＝log2013(x1x2…x2012)＝－1.答案－1三、解答题4．(2013·福建卷改编)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)当实数a0时，求函数f(x)的极值．解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－2x(x0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x0.令f′(x)＝0，得x＝a0.当x∈(0，a)时，f′(x)0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0.从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值.