2015届高考数学一轮复习质量检测集合常用逻辑用语与函数导数及应用(北师大版)

第1页共11页2015届高考数学一轮复习质量检测：集合、常用逻辑用语与函数、导数及应用时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁RM为()A．[－1,1]B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆BD⇒/a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A3．(2013·山东烟台诊断)下列说法错误的是()A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x1”是“|x|0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋10”，则綈p：“∀x∈R，第2页共11页x2＋x＋1≥0”解析：若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，故选C.答案：C解析：由定积分的几何意义，结合三个函数的图象，易知abc.答案：B5．若函数f(x)＝ax2＋(a2－1)x－3a为偶函数，其定义域为[4a＋2，a2＋1]，则f(x)的最小值为()A．3B．0C．2D．－1解析：由f(x)为偶函数知a2－1＝0，即a＝±1，又其定义域需关于原点对称，即4a＋2＋a2＋1＝0必有a＝－1.这时f(x)＝－x2＋3，其最小值为f(－2)＝f(2)＝－1.故选D.答案：D6．已知a是函数f(x)＝2x－log12x的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()A．f(x0)＝0B．f(x0)0C．f(x0)0D．f(x0)的符号不能确定第3页共11页解析：答案：C7．(2014·河北名校名师俱乐部二调)曲线y＝12x2＋x在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A．1B．2C.43D.23解析：y′＝x＋1，所以切线在点(2,4)处的斜率为3，切线方程为y－4＝3(x－2)，令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝23，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S＝12×|－2|×23＝23.答案：D8．(2013·青岛市统一质检)已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)＝f(4－x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)2f′(x)，若2a4则()A．f(2a)f(3)f(log2a)B．f(3)f(log2a)f(2a)C．f(log2a)f(3)f(2a)第4页共11页D．f(log2a)f(2a)f(3)解析：由f(x)＝f(4－x)知函数f(x)关于x＝2对称，x≠2时，有(x－2)f′(x)0，∴x2时f′(x)0，x2时，f′(x)0，f(x)在(－∞，2)上单调减，在(2，＋∞)上单调增，2a4时42a16，klog2a2，∴log2a22a，知f(log2a)f(3)f(2a)，选C.答案：C9．(2013·南平市质检)已知函数f(x)＝ex＋aex，(a∈R，e是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a的取值范围是()A．[0,1]B．[－1,0]C．[－1,1]D．(－∞，－e2)∪[e2，＋∞)解析：当a＝1时，f(x)＝ex＋1exf′(x)＝ex－1ex＝ex－1ex在[0,1]上f′(x)≥0，所以f(x)在区间[0,1]上单调递增．a＝－1时f(x)＝ex－1ex很显然在区间[0,1]上单调递增，故选C.答案：C10．(2014·河北名校名师俱乐部二调)下图中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)等于()第5页共11页A.13B．－13C.73D．－13或53解析：∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f′(x)的图象开口向上．又∵a≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f′(0)＝0，且－a0，∴a＝－1，∴f(x)＝13x3－x2＋1，故f(－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·重庆市九校联考)已知函数f(x)＝log3x，x02x，x≤0，则ff19＝________.解析：f19＝－2，f(－2)＝14，∴ff19＝f(－2)＝14.答案：1412．f(x)＝xn2－3n(n∈Z)是偶函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n＝________.解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n2－3n0，即0n3，又因为f(x)是偶函数，所以n2－3n是偶数，只有n＝1或2满足条件．答案：1或213．(2013·山东菏泽模拟)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝第6页共11页2x＋1，则12f(－x)dx的值等于________．解析：由于f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是12f(－x)dx＝12(x2－x)dx＝(13x3－12x2)21＝56.答案：5614．(2014·安徽池州一中高三月考)设二次函数g(x)的图象在点(m，g(m))处的切线方程为y＝h(x)，若f(x)＝g(x)－h(x)，则下面说法正确的有________(填出所有正确结论的序号)．①存在相异的实数x1，x2，使f(x1)＝f(x2)成立；②f(x)在x＝m处取得极小值；③f(x)在x＝m处取得极大值；④不等式|f(x)|12013的解集非空；⑤直线x＝m一定为函数f(x)图象的对称轴．解析：特例法：不妨设g(x)＝x2，m＝1.∴g(x)在点(1,1)处的切线方程为h(x)＝2x－1，∴f(x)＝x2－2x＋1，可以看出①②④⑤都成立．对比②③⑤再举例g(x)＝－x2，在点(1，－1)处的切线方程为h(x)＝－2x＋1.f(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2＋1，故②不对．∴①④⑤正确．答案：①④⑤三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围．第7页共11页解：由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝a2或x＝－a，∴当命题p为真命题时，a2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p∨q”为假命题，∴a2或a－2.即a的取值范围为{a|a2，或a－2}．16．(满分12分)2013年8月31日第十二届全运会在辽宁沈阳开幕，历时13天．某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x(0x1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y元．(1)写出y与x的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润为y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15]元，所以y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0x1)．(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0，得x1＝12，x2＝－23(舍去)，第8页共11页所以当0x12时，y′0；当12x1时，y′0.所以函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0x1)在x＝12处取得最大值．故改进工艺后，纪念品的销售价为20×1＋12＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大．17．(满分12分)(2013·贵州省六校联盟第一次联考)已知函数f(x)＝a＋blnxx＋1在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝2.(1)求a，b的值；(2)对函数f(x)定义域内的任一个实数x，f(x)mx恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由f(x)＝a＋blnxx＋1⇒f′(x)＝bxx＋1－a＋blnxx＋12而点(1，f(1))在直线x＋y＝2上⇒f(1)＝1，又直线x＋y＝2的斜率为－1⇒f′(1)＝－1故有a2＝12b－a4＝－1⇒a＝2b＝－1(2)由(1)得f(x)＝2－lnxx＋1(x0)由xf(x)m⇒2x－xlnxx＋1m令g(x)＝2x－xlnxx＋1⇒g′(x)＝第9页共11页1－lnxx＋1－2x－xlnxx＋12＝1－x－lnxx＋12令h(x)＝1－x－lnx⇒h′(x)＝－1－1x0(x0)，故h(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，故当0x1时，h(x)h(1)＝0，当x1时，h(x)h(1)＝0从而当0x1时，g′(x)0，当x1时，g′(x)0⇒g(x)在(0,1)是增函数，在(1，＋∞)是减函数，故g(x)max＝g(1)＝1要使2x－xlnxx＋1m成立，只需m1故m的取值范围是(1，＋∞)．18．(满分14分)(2014·辽宁沈阳二中月考)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围；(3)若对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1x2，且f(x1)＋2x1f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，f(x)＝2x－3＋1x.因为f′(1)＝0，f(1)＝－2.所以切线方程是y＝－2.(2)函数f(x)＝2ax2－(a＋2)x＋lnx的定义域是(0，＋∞)．当a0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋1x＝2ax2－a＋2x－1x(x0)第10页共11页令f′(x)＝0，即f′(x)＝2ax2－a＋2x＋1x＝2x－1ax－1x＝0，所以x＝12或x＝1a.当01a≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；当11ae时，f(x)在[1，e]上的最小值是f1af(1)＝－2，不合题意；当1a≥e时，f(x)在(1，e)上单调递减，所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(e)f(1)＝－2，不合题意．∴综上a≥1.(3)设g(x)＝f(x)＋2x，则g(x)＝ax2－ax＋lnx，只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可．而g′(x)＝2ax－a＋1x＝2ax2－ax＋1x当a＝0时，g′(x)＝1x0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x∈(0，＋∞)，只要2ax2－ax＋1≥0，则需要a0，对于函数y＝2ax2－ax＋1，过定点(0,1)，对称轴x＝140