2015届高考数学二轮复习专题检测9分段函数,剪不断理还乱

19分段函数，剪不断理还乱1．设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．答案[0，＋∞)解析当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x1时，1－log2x≤2，解得x≥12，所以x1.综上可知x≥0.2．已知函数f(x)＝(a－3)x＋5，x≤1，2ax，x1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是________．答案(0,2]解析由题意，得a－30，a0，a－3＋5≥2a，解得0a≤2.3．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝g(x)＋x＋4，xg(x)，g(x)－x，x≥g(x)，则f(x)的值域是______________________．答案[－94，0]∪(2，＋∞)解析由xg(x)得xx2－2，∴x－1或x2；由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.∴f(x)＝x2＋x＋2，x－1或x2，x2－x－2，－1≤x≤2.即f(x)＝(x＋12)2＋74，x－1或x2，(x－12)2－94，－1≤x≤2.当x－1时，f(x)2；当x2时，f(x)8.∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x≤2时，－94≤f(x)≤0.2∴当x∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．综上可知，f(x)的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．4．已知f(x)＝－2x(－1≤x≤0)，x(0x≤1)，则下列函数的图象错误的是________．答案④解析先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此①正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此②正确；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，③正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝x，相应这部分图象不是一条线段，因此④不正确．5．设函数f(x)＝log12x，x0，log2(－x)，x0.若f(m)f(－m)，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪(0,1)解析若m0，则－m0，f(m)＝12logm＝－log2m，f(－m)＝log2m，由f(m)f(－m)，得－log2mlog2m，即log2m0,0m1；若m0，则－m0，f(－m)＝log12(－m)＝－log2(－m)，f(m)＝log2(－m)，由f(m)f(－m)得log2(－m)－log2(－m)，解得m－1.6．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝a，a－b≤1，b，a－b1.设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是____________________．答案(－∞，－2]∪(－1，－34)3解析f(x)＝x2－2，x2－2－(x－x2)≤1，x－x2，x2－2－(x－x2)1，即f(x)＝x2－2，－1≤x≤32，x－x2，x－1或x32，f(x)的图象如图所示，由图象可知c的取值范围为(－∞，－2]∪(－1，－34)．7．已知函数f(x)＝log2x，x0，f(x＋2)＋1，x≤0，则f(－3)的值为________．答案2解析f(－3)＝f(－1)＋1＝f(1)＋2＝2.8．已知函数f(x)＝x2＋2ax，x≥2，2x＋1，x2，若f(f(1))3a2，则a的取值范围是________．答案－1a3解析由分段函数可得f(f(1))＝f(3)＝6a＋9，故f(f(1))3a2⇔6a＋93a2，解得－1a3.9．已知函数f(x)＝2x，x≥2，(x－1)3，x2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．答案(0,1)解析画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．10．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝4ax＋1，－1≤x0，bx＋2x＋1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f12＝f32，则a＋3b的值为________．答案－10解析因为f(x)的周期为2，所以f32＝f32－2＝f－12，即f12＝f－12.又因为f－12＝－12a＋1，f12＝b2＋212＋1＝b＋43，所以－12a＋1＝b＋43.整理，得a＝－23(b＋1)．①又因为f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝b＋22，即b＝－2a.②将②代入①，得a＝2，b＝－4.所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.11．(2013·四川)已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，x0，lnx，x0，其中a是实数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2－x1的最小值；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．解(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，又当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1.当x0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2，因为x1x20，所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋20,2x2＋20.因此x2－x1＝12[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥5[－(2x1＋2)](2x2＋2)＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－32且x2＝－12时等号成立．所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.(3)当x1x20或x2x10时，f′(x1)≠f′(x2)，故x10x2.当x10时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x21＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x21＋a.当x20时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－lnx2＝1x2(x－x2)，即y＝1x2·x＋lnx2－1.两切线重合的充要条件是1x2＝2x1＋2，①lnx2－1＝－x21＋a，②由①及x10x2知，01x22.由①②得，a＝lnx2＋12x2－12－1＝－ln1x2＋141x2－22－1.令t＝1x2，则0t2，且a＝14t2－t－lnt.设h(t)＝14t2－t－lnt(0t2)，因为h′(t)＝12t－1－1t＝(t－1)2－32t0，所以h(t)(0t2)为减函数，则h(t)h(2)＝－ln2－1，a－ln2－1.而当t∈(0,2)且趋近于0时，h(t)无限增大，所以a的取值范围是(－ln2－1，＋∞)，故当函数f(x)的图象在点A、B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln2－1，＋∞)．12．(2013·湖南)已知a0，函数f(x)＝x－ax＋2a.(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；(2)是否存在a，使函数y＝f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．6解(1)当0≤x≤a时，f(x)＝a－xx＋2a；当xa时，f(x)＝x－ax＋2a.因此，当x∈(0，a)时，f′(x)＝－3a(x＋2a)20，f(x)在(0，a)上单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＝3a(x＋2a)20，f(x)在(a，＋∞)上单调递增．①若a≥4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)＝f(0)＝12.②若0a4，则f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g(a)＝max{f(0)，f(4)}．而f(0)－f(4)＝12－4－a4＋2a＝a－12＋a，故当0a≤1时，g(a)＝f(4)＝4－a4＋2a；当1a4时，g(a)＝f(0)＝12.综上所述，g(a)＝4－a4＋2a，0a≤1，12，a1.(2)由(1)知，当a≥4时，f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0a4时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x1，x2∈(0,4)(x1x2)，使曲线y＝f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点处的切线互相垂直．则x1∈(0，a)，x2∈(a,4)，且f′(x1)·f′(x2)＝－1.即－3a(x1＋2a)2·3a(x2＋2a)2＝－1.亦即x1＋2a＝3ax2＋2a.(*)由x1∈(0，a)，x2∈(a,4)得x1＋2a∈(2a,3a)，3ax2＋2a∈3a4＋2a，1.故(*)成立等价于集合A＝{x|2ax3a}与集合B＝x|3a4＋2ax1的交集非空．因为3a4＋2a3a，所以当且仅当02a1，即0a12时，A∩B≠∅.综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是0，12.