2015届高考数学二轮复习概率随机变量的分布列提能专训

1提能专训(十六)概率、随机变量的分布列一、选择题1．(2014·东北三校二模)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξc)＝P(ξc－2)，则c的值是()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]因为ξ服从正态分布N(2,9)，即μ＝2为图象的对称轴，而P(ξc)＝P(ξc－2)，即μ＝c与μ＝c－2关于μ＝2对称，则有c＋c－22＝2，c＝3.2．(2014·邯郸二模)甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是()A.13B.23C.34D.35[答案]A[解析]第一种情况：甲安排在第一天，则有A24＝12种；第二种情况：甲安排在第二天，则有A23＝6种；甲安排在第三天，则有A22＝2种，所以P＝12＋6＋2A35＝13.3．(2014·景德镇第一次质检)甲、乙两名棋手比赛正在进行中，甲必须再胜2盘才最后获胜，乙必须再胜3盘才最后获胜，若甲、乙两人每盘取胜的概率都是12，则甲最后获胜的概率是()A.34B.1116C.58D.916[答案]B[解析]甲、乙再打2局甲胜的概率为12×12＝14；甲、乙再打3局甲胜的概率为2×12×12×12＝14；甲、乙再打4局甲胜的概率为3×124＝316.所以甲最后获胜的概率为14＋14＋316＝1116，故选B.4．(2014·深圳调研)如图，在矩形OABC内：记抛物线y＝x2＋1与直线y＝x＋1围成的区域为M(图中阴影部分)．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是()2A.118B.112C.16D.13[答案]B[解析]阴影部分的面积为SM＝∫10[(x＋1)－(x2＋1)]dx＝∫10(x－x2)dx＝12x2－13x3|10＝12－13＝16.又矩形OABC的面积S＝2，故所求的概率为P＝112.5．(2014·武汉调研测试)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为()A.12B.38C.14D.18[答案]B[解析]三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502)，则三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p＝12，设A＝{超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}；B＝{超过1000小时，元件3正常}，C＝{该部件的使用寿命超过1000小时}，则3p(A)＝1－(1－p)2＝34，p(B)＝12，p(C)＝p(AB)＝p(A)p(B)＝34×12＝38，故选B.6．(2014·沈阳质检一)在满足不等式组x－y＋1≥0，x＋y－3≤0，y≥0的平面点集中随机取一点M(x0，y0)，设事件A＝“y02x0”，那么事件A发生的概率是()A.14B.34C.13D.23[答案]B[解析]作出不等式组对应的平面区域，是图中的三角形ABC，其中事件A对应的区域如图中阴影部分，所以事件A发生的概率为34，故选B.7．盒中有红球5个，蓝球11个，其中红球中有2个玻璃球，3个木质球；蓝球中有4个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，假设每个球被摸到的可能性相同．若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率为()A.23B.13C.1116D.516[答案]A[解析]记“取到蓝球”为事件A，“取到玻璃球”为事件B.则已知取到的球为玻璃球，它是蓝球的概率就是B发生的条件下A发生的概率，记作P(A|B)．因为P(AB)＝416＝14，P(B)＝616＝38，所以P(A|B)＝PABPB＝1438＝23.8．设ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝23，P(ξ＝x2)＝13，且x1x2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则x1＋x2的值为()4A.53B.73C．3D.113[答案]C[解析]由E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，得23x1＋13x2＝43，x1－432·23＋x2－432·13＝29，解得x1＝53，x2＝23或x1＝1，x2＝2，由于x1x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.9．(2014·东北三省二模)一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为c(a，b，c∈[0,1))，如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当10a＋19b取最小值时，c的值为()A.111B.211C.511D．0[答案]A[解析]因为运动员射击一次击中环数的期望为9，所以有10a＋9b＝9，所以10a＋19b＝1910a＋19b(9b＋10a)＝1990ba＋10a9b＋101≥1219.当且仅当90ba＝10a9b时取等号，即a＝9b.将其和10a＋9b＝9联立可解得a＝911，b＝111.又因为a＋b＋c＝1，所以c＝111.10．(2014·东北三省四市二联)P为圆C1：x2＋y2＝9上任意一点，Q为圆C2：x2＋y2＝25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为()A.1325B.35C.1325πD.35π[答案]B[解析]设Q(x0，y0)，中点M(x，y)，则P(2x－x0,2y－y0)，代入x2＋y2＝9，得(2x－x0)25＋(2y－y0)2＝9，化简得x－x022＋y－y022＝94，故M轨迹是以x02，y02为圆心、以32为半径的圆，又点(x0，y0)在圆x2＋y2＝25上，所以区域M为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带，即应有x2＋y2＝r2(1≤r≤4)，那么在C2内部任取一点落在M内的概率为16π－π25π＝35，故选B.11．(2014·广东七校联考)如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为()A.3＋316πB.3＋34πC.4π3＋3D.16π3＋3[答案]B[解析]由正弦定理BCsinA＝ACsinB＝2R(R为圆的半径)∴BC＝20sin60°，AC＝20sin45°，即BC＝103，AC＝102.那么S△ABC＝12×103×102sin75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)．于是，豆子落在三角形ABC内的概率为6P＝S△ABC圆的面积＝＋3102π＝3＋34π.12．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)1.75，则p的取值范围是()A.0，712B.712，1C.0，12D.12，1[答案]C[解析]由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋31.75，解得p52或p12，又由p∈(0,1)，可得p∈0，12，故应选C.二、填空题13．(2014·乌鲁木齐二诊)如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sinx及直线x＝a(a∈(0,2π))与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为12，则a＝________.[答案]π[解析]根据题意，阴影部分的面积为12×a·4a＝∫a0sinxdx，即－(cosa－cos0)＝2，cosa＝－1，又a∈(0,2π)，故a＝π.14．(2014·唐山二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10,0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为________．(精确到0.0001)注：P(μ－σx≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σx≤μ＋2σ)＝0.9544，7P(μ－3σx≤μ＋3σ)＝0.9974.[答案]0.0228[解析]因为袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10,0.12)，所以P(ξ9.8)＝12[1－P(9.8ξ10.2)]＝12[1－P(10－2×0.1ξ10＋2×0.1)]＝12×(1－0.9544)＝0.0228.15．(2014·潍坊一模)如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为________．[答案]710[解析]由题中茎叶图知，甲在五场比赛中的得分总和为18＋19＋20＋21＋22＝100；乙运动员在已知成绩的四场比赛中得分总和为15＋16＋18＋28＝77，乙的另一场得分是20到29十个数字中的任何一个的可能性是相等的，共有10个基本事件，而事件“甲的平均得分不超过乙的平均得分”就包含了其中的23,24,25,26,27,28,29共7个基本事件，所以甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为710.16．(2014·嘉兴3月测试一)某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)．设某学生对每道题答对的概率为34，则该学生在面试时得分的期望为________．[答案]754[解析]由题意得，该学生有可能答对0,1,2,3道，所以得分可能为－15，0,15,30.根据独立试验同时发生的概率计算公式可得，得分可能为－15，0,15,30对应的概率分别为C331－343·340，C231－342341，C131－341·342，C031－340343，8即为164，964，2764，2764.所以期望为(－15)×164＋0×964＋15×2764＋30×2764＝754，故填754.三、解答题17．(2014·广州综合测试)甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙、丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)．解：(1)记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，由已知A1，A2，A3相互独立，且满足PA1＝25，[1－PA1－PA3＝625，PA2PA3＝310，解得P(A2)＝12，P(A3)＝35.所以乙、丙各自能被聘用的概率分别为12，35.(2)ξ的可能取值为1,3.因为P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋[1－P(A1)][1－P(A2)][1－P(A3)]＝25×12×35＋35×12×25＝625.所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝3)＝1－625＝1925.所以ξ的分布列为：ξ13P19256259所以E(ξ)＝1×1925＋3×625＝3725.18．(2014·安徽六校二联)生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]元件A81240328元件B71840296(1)试分别估计元件A、元件B为正品的概率；(2)生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元