2015年全国各地高考模拟数学试题汇编导数与定积分(理卷A)

专题2不等式、函数与导数第4讲导数与定积分（A卷）一、选择题（每题5分，共50分）1、（2015·海南省高考模拟测试题·3）若函数)0,0(1)(baebxfax的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是（）A.4B.22C.2D.22.（2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·12）3．(2015·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·12)定义在0+，上的单调函数2(),0,,()log3fxxffxx，则方程2)()(xfxf的解所在区间是（）A.21,0B.1,21C.2,1D.3,24．(2015济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·10)若函数()fx=22(1)()xxaxb的图像关于直线x=2对称，则()fx的最大值是（）A．9B．14C．15D．165．（2015·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·10）已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（）．A．1,eB．（，+∞）C．1,eeD．,e6．（2015·佛山市普通高中高三教学质量检测（二）·4）不可能为直线bxy23作为切线的曲线是（）A．xy1B．xysinC．xylnD．xey7.(2015·海淀区高三年级第二学期期末练习·7)已知()fx是定义域为R的偶函数，当0x时，31()(1)exfxx.那么函数()fx的极值点的个数是（）（A）5（B）4（C）3（D）28．(2015·丰台区学期统一练习二·3）直线4yx与曲线21yxx所围成的封闭图形的面积为（）(A)223(B)283(C)323(D)3439．（2015·合肥市高三第三次教学质量检测·10）定义在R上的函数()fx满足:()1fx且()'()1,(0)5fxfxf,其中'()fx是()fx的导函数,则不等式ln[()1]ln4fxx的解集为（）A．(0,)B．(,0)(3,)C．(,0)(0,)D．(,0)10.(2015.怀化市高三第二次模考·9)定义在R上的函数()fx满足：()1()fxfx，(0)6f，()fx是()fx的导函数，则不等式()5xxefxe（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．0,B．,03,UC．,01,UD．3,二、非选择题（50分）11.(2015·济南市高三教学质量调研考试·14)已知正方形ABCD,M是DC的中点，由AMmABnACuuuruuuruuur确定,mn的值，计算定积分sinnmxdx__________.12.（2015·青岛市高三自主诊断试题·14）若函数()sin()(0,0)6fxAxA的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为；13．函数xexxf2)(在区间)1,(aa上存在极值点，则实数a的取值范围为▲．14．（2015·苏锡常镇四市高三数学调研（二模）·14）已知a，b∈R，a≠0，曲线y=xa2，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点，则a2+b2的最小值为15.（2015.山师附中第七次模拟·11）由1,1,2,1yxxyx所围成的封闭图形的面积为______________.16.（2015·山东省实验中学高三第三次诊断考试20.）（本题满分12分）已知函数1lnxfxx.（I）求函数fx的单调区间；（II）若函数fx在区间1,02ttt上不是单调函数，求实数t的取值范围；（III）如果当1x时，不等式1afxx恒成立，求实数a的取值范围.17.（2015·扬州中学第二学期开学检测·20）（本小题满分13分）已知函数2()fxxaxb，()lngxx．（1）记()()()Fxfxgx,求()Fx在[1,2]的最大值；（2）记()()()fxGxgx，令4am，24()bmmR，当210m时，若函数()Gx的3个极值点为123123,,()xxxxxx，（ⅰ）求证：321120xxx；（ⅱ）讨论函数()Gx的单调区间（用123,,xxx表示单调区间）．专题2不等式、函数与导数第4讲导数与定积分（A卷）答案与解析1.【答案】D【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义，直线与圆的位置关系，基本不等式．【解析】由于f′（x）=－baeax，故k=f′（0）=－ba，又f（0）=－b1，则对应的切线方程为y+b1=－bax，即ax+by+1=0，而切线与圆x2+y2=1相切，则有d=221ba=r=1，即a2+b2=1，故有a+b≤)(222ba=2，当且仅当a=b=22时等号成立．2.【答案】C【命题立意】本题重点考查图象的对称性，利用导数研究函数的单调性，难度较大.【解析】由题意知32231xy，将(,),(,),(,),(,),(,),xyyxyxxyxy代入其方程，其表达式不变，所以曲线关于原点和直线,yxyx以及,xy轴对称，所以①正确，②错误，根据对称性，因为曲线与两坐标轴交点处的四条线段长为42，而曲线是两坐标轴交点处弧长，所以42l，故③正确，曲线到原点的距离的平方为222dxy，由32231xy，得3223(1)yx，所以32222223(1)dxyyxx，设32,ux则23xu，233(1)duu，222()33(1)63duuu，当102u时，2()0d，当12u时，2()0d，所以当12u时，2min111()884d，得12d.3.【答案】C【命题立意】本题旨在考查导数，函数零点存在性定理。【解析】根据题意，对任意的(0,)x，都有2()log3ffxx，又由f（x）是定义在(0,)上的单调函数，则2()logfxx为定值，设2()logtfxx，则2()logfxxt，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则2()log2fxx，1()ln2fxx。因为()()2fxfx，所以21log22ln2xx即21log0ln2xx，令21()logln2hxxx，因为211(1)log10ln2ln2h，211(2)log2102ln2ln4h，所以21()logln2hxxx的零点在区间(1,2)，即方程()()2fxfx的解所在的区间是(1,2)。4.【答案】D【命题立意】本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出a，b的值，利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强，难度较大.【解析】∵f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，∴f（1）=f（3），f（-1）=f（5），即9302550abab，，解得a=-8，b=15，即f（x）=（1-x2）（x2-8x+15）=-x4+8x3-14x2-8x+15，则f′（x）=-4x3+24x2-28x-8=-4（x-2）（x2-4x-1），由f′（x）=0，解得x=2或x=2+5或x=2-5，由f′（x）＞0，解得2＜x＜2+5或x＜2-5，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，解得2-5＜x＜2或x＞2+5，此时函数单调递减，作出对应的函数图象如图：则当x=2+5或2+5时，函数f（x）取得极大值同时也是最大值，f（2+5）=16.5.【答案】B【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义，导数及其应用．【解析】由题可得f′（x）=ex－m，由于曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则ex－m=－e1有解，即m=ex+e1，而ex0，故me1．6.【答案】B【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义以及导数的计算．【解析】对于B选项：'()cosfxx的最大值为1，所以sinyx不存在斜率为32的切线．故选:B7.【答案】C【命题立意】本题考查了函数的奇偶性及利用导数判断函数的单调性.【解析】当0x时，'213121()3(1)e(1)e(1)e(4)xxxfxxxxx，解'()0fx，得41xx或.因为(,4)x时，'()0fx；(4,1)x时，'()0fx；(1,0)x时，'()0fx.则()fx在区间(,4)x上单调递减，在区间(4,0)x上单调递增.又因为()fx是定义域为R的偶函数，由其对称性可得，()fx在区间(0,4)x上单调递减，在区间(4,)x上单调递增.所以函数()fx在40xx或出取得极值.8.【答案】C【命题立意】考查用定积分求面积，考查转化能力，容易题．【解析】因为142xxx的解为1x或3x，所以封闭图形的面积为332|)331()32()]1(4[3123312312xxxdxxxdxxxxS．9.【答案】A【命题立意】本题重点考查对数的运算法则以及利用导数研究函数的单调性，难度较大．【解析】因为ln[()1]ln4fxx，所以ln[()1]ln4xfxe，即4()1xfxe，()4xxfxee，设()()4xxFxfxee，则()()()(()()1)xxxxFxfxefxeefxfxe，因为()()10fxfx，所以()0Fx，()Fx在R上为单调递增函数，又因为(0)(0)1Ff40，所以()0()(0)0FxFxFx．10.【答案】A【命题立意】本题旨在考查函数与导数的关系，不等式的解法．【解析】设g（x）=exf（x）-ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=ex[f（x）+f′（x）-1]，∵f'（x）＞1-f（x），∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）-e0=6-1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）,故选：A．11.【答案】1【命题立意】本题旨在考查平面向量的基本运算，定积分的运算．【解析】如图，AMmABnACuuuruuuruuur=12ABACuuuruuur,2sincos12xdxx．12.【答案】312【命题立意】本题考查了正弦型函数的图象、定积分的几何意义及曲边梯形的面积.【解析】由图象可知21,(),1233TA，()sin()6fxx，图中其与x轴的交点横坐标为6，所以图中的阴影部分的面积为66003[sin()]cos()|1662xdxx.【易错警示】用定积分计算平面区域的面积，确定被积函数是解决问题的关键.通常，先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限.被积函数一般转化为上方函数与下方函数的差.13.【答案】)0,1()2,3(；【命题立意】本题考查函数的极值，方法是借助函数的导数求出函数的极值点判断出函数的单调区间.【解析】函数xexxf2)(的导数为)2(22xxeexxeyxxx，令0y，则0x或2x，当)0,2(x时)(xf单调递减，当)2,(x和),0(x时)(xf单调递增0和2是函数的极值点，因为函数xexxf2)(在区间)1,(aa上存在极值点，所以12aa或2310aaa或01a.14.【答案】1001【命题立意】本题旨在考查点到直线的距离公式、基本不等式、函数的单调性．【解析