2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题22随机变量及其分布列理(含解析)

1【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题22随机变量及其分布列理（含解析）一、解答题1．(2014·安徽理，17)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．[分析]①甲在四局内赢得比赛，即甲前两局胜，或第一局败，二、三局胜，或第一局胜，第二局败，第三、四局胜．②比赛总局数最少2局，最多5局，求概率时，既要考虑甲胜结束，又要考虑乙胜结束．③由于各局比赛结果相互独立，故按独立事件公式计算积事件的概率．[解析]用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝23，P(Bk)＝13，k＝1,2,3,4,5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝(23)2＋13×(23)2＋23×13×(23)2＝5681.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝59，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝29，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝1081，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881.2故X的分布列为X2345P59291081881E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.[方法点拨]1.求复杂事件的概率的一般步骤：1°列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；2°理清各事件之间的关系，列出关系式；3°根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．3．要准确理解随机变量取值的意义，准确把握每一个事件所包含的基本事件，然后依据类型代入概率公式进行计算．4．概率与统计知识结合的问题，先依据统计知识明确条件，求出有关统计的结论，再将所求问题简化为纯概率及其分布的问题，依据概率及其分布列、期望、方差的知识求解．5．离散型随机变量的分布列的性质：设离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.2．(2015·重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．[分析]考查了古典概型的概率以及分布列、数学期望，属于简单题型．(1)由古典概型概率公式计算；(2)从含有2个豆沙粽的10个粽子中取3个，据此可得出X的可能取值及其概率，列出分布列求得期望．[解析](1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的可能取值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，3P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115综上知，X的分布列为：X012P715715115故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)[方法点拨]如果题目条件是从含A类物品M件，总数为N的A、B两类物品中，抽取n件，其中含有A类物品件数X为随机变量，则按超几何分布公式直接计算．请练习下题：一盒中有12个零件，其中有3个次品，从盒中每一次取出一个零件，取后不放回，求在取到正品前已取次数X的分布列和期望．[分析]由于题设中要求取出次品不再放回，故应仔细分析每一个X所对应的事件的准确含义．据此正确地计算概率p.[解析]X可能的取值为0、1、2、3这四个数，而X＝k表示，共取了k＋1次零件，前k次取得的是次品，第k＋1次取得正品，其中k＝0、1、2、3.(1)当X＝0时，第1次取到正品，试验中止，此时P(X＝0)＝C19C112＝34.(2)当X＝1时，第1次取到次品，第2次取到正品，P(X＝1)＝C13C112×C19C111＝944.(3)当X＝2时，前2次取到次品，第3次取到正品，P(X＝2)＝C13C112×C12C111×C19C110＝9220.当X＝3时，前3次将次品全部取出，P(X＝3)＝C13C112×C12C111×C11C110＝1220.所以X的分布列为：X0123P3494492201220E(X)＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.43．(2014·石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款(单位：元)[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200，＋∞)顾客人数m2030n10统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%.据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)(1)试确定m、n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；(2)现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望．[解析](1)由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n＋40＝100×60%，n＝20；m＝100－(20＋30＋20＋10)＝20.该商场每日应准备纪念品的数量大约为5000×60100＝3000件．(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率p＝60100＝35.故4人购物获得纪念品的人数ξ服从二项分布B(4，35)．P(ξ＝0)＝C04(35)0(25)4＝16625，P(ξ＝1)＝C14(35)1(25)3＝96625，P(ξ＝2)＝C24(35)2(25)2＝216625，P(ξ＝3)＝C34(35)3(25)1＝216625，P(ξ＝4)＝C44(35)4(25)0＝81625，ξ的分布列为ξ01234P166259662521662521662581625ξ数学期望为E(ξ)＝0×16625＋1×96625＋2×216625＋3×216625＋4×81625＝125.5或由E(ξ)＝4×35＝125.[方法点拨]1.独立重复试验与二项分布一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．称事件A发生的次数X服从参数为n、p的二项分布．若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．离散型随机变量的期望：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn.3．准确辨别独立重复试验的基本特征(①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同)，牢记公式Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含义，是解二项分布问题的关键．4．对于复杂事件，要先辨析其构成，依据互斥事件，或者相互独立事件按事件的和或积的概率公式求解，还要注意含“至多”，“至少”类词语的事件可转化为对立事件的概率求解．请练习下题：为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，其中第2小组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的分布列和数学期望．[分析]先由频率直方图中前三组频率的比及第2小组频数及频率分布直方图的性质求出n的值和任取一个报考学生体重超过60kg的概率．再由从报考飞行员的学生中任选3人知，这是三次独立重复试验，故X服从二项分布．6[解析](1)设报考飞行员的人数为n，前3个小组的频率分别为p1，p2，p3，则由条件可得：p2＝2p1，p3＝3p1，p1＋p2＋p3＋＋＝1.解得p1＝0.125，p2＝0.25，p3＝0.375.又因为p2＝0.25＝12n，故n＝48.(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60kg的概率为P＝p3＋(0.037＋0.013)×5＝58，由题意知X服从二项分布B(3，58)，P(x＝k)＝Ck3(58)k(38)3－k(k＝0,1,2,3)，所以随机变量X的分布列为X0123P27512135512225512125512E(X)＝0×27512＋1×135512＋2×225512＋3×125512＝158.4．(2015·江西省质量监测)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：老板根据销售量给予店员奖励，具体奖励规定如下表销售量X个X100100≤X150150≤X200X≥200奖励金额(元)050100150(1)求在未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率；(2)记未来连续2天，店员获得奖励X元，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．[解析](1)由频率分布直方图得店员一天获得50元、100元、150元的概率分别是0.3,0.2,0.1，不得奖励的概率是0.4，所以未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率7P＝0.33＋A33×0.3×0.2×0.4＋C13×0.42×0.1＝0.219；(2)X可能取值有0,50,100,150,200,250,300.P(X＝0)＝0.42＝0.16，P(X＝50)＝2×0.4×0.3＝0.24.P(X＝100)＝0.32＋2×0.4×0.2＝0.25，P(X＝150)＝2×0.4×0.1＋2×0.3×0.2＝0.20.P(X＝200)＝0.22＋2×0.3×0.1＝0.10，P(X＝250)＝2×0.2×0.1＝0.04，P(X＝300)＝0.12＝0.01，所以随机变量X的分布列是：X050100150200250300P(X)0.160.240.250.200.100.040.01E(X)＝0×0.16＋50×0.24＋100×0.25＋150×0.20＋200×0.10＋250×0.04＋300×0.01＝100(或E(X)＝2(0×0.4＋50×0.3＋100×0.2＋150×0.1)＝100)[方法点拨]概率与统计知识相结合是高考主要命题方式之一．一般先解答统计问题，最后依据条件确定随机变量的取值及其概率，再列出分布列求期望．请练习下题：(2015·江西上饶市三模)对某校高二年级学生暑期参加社会实践次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社会实践的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10,15)200.25[15,20)48n[20,25)mp[25,30)40.05合计M1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)在所取样本中，从参加社会实践的次数不少于20次的学生中任选3人，记参加社会实践次数在区间[25,30)内的人数为X，求X的分布列和期望．[解析](1)由频率分布表和频率分布直方图的