2017届高考数学大一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布计时双基练56古典概型文

1计时双基练五十六古典概型A组基础必做1．下列概率模型中，是古典概型的有()①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；②从1～10十个数字中任意取出一个整数，求取到1的概率；③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率。A．1个B．2个C．3个D．4个解析①③④不是古典概型；①③基本事件有无限个；④两个基本事件出现的可能性不相等；②是古典概型。答案A2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.13B.12C.23D.34解析甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况，∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P＝39＝13，故选A。答案A3．(2015·亳州质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是()A.12B.13C.14D.18解析易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于零无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝14。答案C4．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)2为纯虚数的概率为()2A.13B.14C.16D.112解析∵(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni为纯虚数，∴m2－n2＝0，∴m＝n，(m，n)的所有可能取法有6×6＝36种，其中满足m＝n的取法有6种，∴所求概率P＝636＝16。答案C5．2014年11月26日，日本首相安倍晋三宣布加强对边境附近的离岛的监视，而钓鱼岛也被划在日本专属经济区的调查范围之中。面对日本再次就钓鱼岛领土问题的挑衅，我巡航编队加强了在钓鱼岛附近海域的巡逻执法。某天有137号，135号等共五艘海监船可供选择，计划选派两艘去巡航执法，其中137号，135号至少有一艘去执法的概率为()A.15B.25C.710D.310解析设137号，135号等五艘海监船分别表示为x，y，a，b，c，则所有可能的情况为(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中137号，135号至少有一艘去执法的情况有7种，所以所求的概率为710。故选C。答案C6．从正方形4个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()A.15B.25C.35D.45解析设正方形的四个顶点为A，B，C，D，中心为O，从这5个点中任取2个点，一共有10种不同的取法：AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，其中这2个点的距离小于该正方形边长的取法共有4种：AO，BO，CO，DO。因此由古典概型概率计算公式，可得所求概率P＝410＝25，故选B。答案B7．(2016·浙江模拟)从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于________。解析设2名男生为A，B,3名女生为a，b，c，则从5名同学中任取2名的方法有(A，3B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6种，故所求的概率P＝1－610＝25。答案25甲乙98853129·58.(2015·绵阳诊断)如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________。解析依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝310＝0.3。答案0.39．如图，沿田字型的路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率是________。解析按规定要求从A往N走只能向右或向下，所有可能走法有：A→D→S→J→N，A→D→C→J→N，A→D→C→M→N，A→B→C→J→N，A→B→C→M→N，A→B→F→M→N共6种，其中经过C点的走法有4种。所以所求概率P＝46＝23。答案2310．(2015·天津卷)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18。现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛。(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛。①用所给编号列出所有可能的结果；4②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1个被抽到”，求事件A发生的概率。解(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2。(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种。②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种。因此，事件A发生的概率P(A)＝915＝35。11．某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率。解(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个。由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的。选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个。因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝36＝12。(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个。由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的。选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个。因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P＝310。B组培优演练1．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3,则()5A．p1p2p3B．p2p1p3C．p1p3p2D．p3p1p2解析总的基本事件个数为36，“向上的点数之和不超过5”的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个，则“向上的点数之和不超过5”的概率p1＝1036＝518；“向上的点数之和大于5”的概率p2＝1－518＝1318；“向上的点数之和为偶数”与“向上的点数之和为奇数”的个数相等，故“向上的点数之和为偶数”的概率p3＝12。即p1p3p2，选C。答案C2．(2015·东北八校二模)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”。现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A.19B.29C.718D.49解析任意找两人玩这个游戏，共有6×6＝36种猜数字结果，其中满足|a－b|≤1的有如下情形：①若a＝1，则b＝1,2；②若a＝2，则b＝1,2,3；③若a＝3，则b＝2,3,4；④若a＝4，则b＝3,4,5；⑤若a＝5，则b＝4,5,6；⑥若a＝6，则b＝5,6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P＝1636＝49。答案D3．设函数f(x)＝ax＋xx－1(x1)，a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从2,3,4,5四个数中任取的一个数，则f(x)b恒成立的概率为________。解析f(x)＝ax＋xx－1＝a(x－1)＋1x－1＋a＋1(x1)，因为a0，x－10，所以有f(x)≥2a＋a＋1。当a＝1时，f(x)min＝4；当a＝2时，f(x)min＝3＋22；当a＝3时，f(x)min＝4＋23。要使f(x)b恒成立，当a＝1时，b＝2,3；当a＝2时，b＝2,3,4,5；当a＝3时，b＝2,3,4,5。故满足条件的(a，b)有2＋4＋4＝10(对)，所求概率P＝103×4＝56。答案564．根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～64085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家。某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率。解(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为1a(8000×0.25a＋4000×0.30a＋6000×0.15a＋3000×0.10a＋10000×0.20a)＝6400。因为6400∈[4085,12616)。所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准。(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个。设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个。所以所求概率为P(M)＝310。