2017版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形41任意角弧度制及任意角的三角函数理

1【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数理1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad，1rad＝180π°.(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|·r2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}＋－＋－24.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(×)(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(√)(3)角α终边上点P的坐标为(－12，32)，那么sinα＝32，cosα＝－12；同理角α终边上点Q的坐标为(x0，y0)，那么sinα＝y0，cosα＝x0.(×)(4)α∈(0，π2)，则tanααsinα.(√)(5)α为第一象限角，则sinα＋cosα1.(√)1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝____________.答案－8解析因为sinθ＝y42＋y2＝－255，所以y0，且y2＝64，所以y＝－8.2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是____________．3①2kπ＋45°(k∈Z);②k·360°＋94π(k∈Z)；③k·360°－315°(k∈Z);④kπ＋5π4(k∈Z)．答案③解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确．3．(教材改编)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________．答案2sin1解析设圆的半径为r，则sin1＝1r，∴r＝1sin1，∴2弧度的圆心角所对弧长为2r＝2sin1.4．已知θ角的终边与480°角的终边关于x轴对称，点P(x，y)在θ角的终边上(不是原点)，则xyx2＋y2＝________.答案34解析由题意知角θ的终边与240°角的终边相同，又∵P(x，y)在角θ的终边上，∴tanθ＝tan240°＝3＝yx，于是xyx2＋y2＝yx1＋yx2＝31＋3＝34.5．函数y＝2cosx－1的定义域为________．答案2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z).4题型一角及其表示例1(1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．(2)若角α在第三象限，则角α2在第________象限．答案(1)2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z)(2)二或四解析(1)∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π，∴所求角的集合为2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z)．(2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2(k∈Z)，∴kπ＋π2＜α2＜kπ＋34π(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π2＜α2＜2nπ＋34π，α2是第二象限角，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋3π2＜α2＜2nπ＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(1)设集合M＝{x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z}，那么下列关系正确的是________．①M＝N；②M⊆N；③N⊆M；④M∩N＝∅.5(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.答案(1)②(2)－675°或－315°解析(1)方法一由于M＝{x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝{x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.方法二由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.(2)由终边相同的角的关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.题型二弧度制的应用例2已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)α＝60°＝π3rad，∴l＝|α|·R＝π3×10＝10π3(cm)．(2)由题意得2R＋R·|α|＝1012|α|·R2＝4⇒R＝1，α＝8(舍去)，R＝4，α＝12.故扇形圆心角为12.(3)由已知得，l＋2R＝20.所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.即当扇形的圆心角α为2弧度时，这个扇形的面积最大．思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．6(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________．(2)已知扇形的周长为4cm，当它的半径为________cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大．答案(1)－π3(2)12解析(1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.(2)设扇形圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝4r－2.∴S扇形＝12|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例3(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为________．(2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为____________．答案(1)12(2)－12，32解析(1)∵r＝64m2＋9，∴cosα＝－8m64m2＋9＝－45，∴m0，∴4m264m2＋9＝125，即m＝12.(2)由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3＝32.即Q点的坐标为－12，32.命题点2三角函数值的符号例4(1)若sinα＜0且tanα＞0，则α是第________象限角．7(2)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是第________象限角．答案(1)三(2)二解析(1)∵sinα＜0，∴α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴上；又tanα＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．(2)由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ2≤0，综上知θ2为第二象限角．命题点3三角函数线例5满足cosα≤－12的角α的集合为________．答案α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z解析作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.思维升华(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围．(1)已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在________．①x轴上；②y轴上；8③直线y＝x上；④直线y＝－x上．(2)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是____________．答案(1)①(2)(－2,3]解析(1)||cosα＝1，∴角α的终边在x轴上．(2)∵cosα≤0，sinα＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴3a－9≤0，a＋2＞0，∴－2＜a≤3.6．数形结合思想在三角函数中的应用典例(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，OP→的坐标为________．(2)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．思维点拨(1)点P转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找P点坐标和三角形边长的关系．(2)求函数的定义域可转化为解不等式－32＜sinx＜32，利用三角函数线可直观清晰得出x的范围．解析(1)如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA＝2，即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－π2，所以PB＝sin(2－π2)＝－cos2，9CB＝cos(2－π2)＝sin2，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，所以OP→＝(2－sin2,1－cos2)．(2)∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜34，∴－32＜sinx＜32.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)．答案(1)(2－sin2,1－cos2)(2)kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)温馨提醒(1)解决和旋转有关的问题要