2015年湛江一模理科数学试卷及答案

广东省湛江市2015届高三（上）调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，3，5}，则A∪B=（）A．{﹣1，1，3，5}B．{1，3}C．{﹣1，5}D．{﹣1，1，1，3，3，5}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的性质求解．解答：解：∵集合A={﹣1，1，3}，B={1，3，5}，∴A∪B={﹣1，1，3，5}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要注意并集性质的合理运用．2．已知（1﹣i）z=1+i，则复数z等于（）A．1+iB．1﹣iC．iD．﹣I考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先表示出复数z的表示式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行复数的乘法运算，化简得到结果．解答：解：∵（1﹣i）z=1+i，∴z====i，故选C点评：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．3．某校高一、高二、高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取n名同学，其中高一的同学有30名，则n=（）A．65B．75C．50D．150考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：利用分层抽样的性质求解．解答：解：由题意得：，解得n=75．故选：B．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．4．下列函数是增函数的是（）A．y=tanx（x∈（0，）∪（，π））B．y=xC．y=cosx（x∈（0，π））D．y=2﹣x考点：正切函数的单调性．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据函数的定义域直接确定函数的单调性解答：解：（1）y=tanx（x）函数在定义域x不具有单调性．（2）y=cosx（x∈（0，π））在定义域内为单调递减函数．（3）y=2﹣x在定义域内为单调递减函数．故选B点评：本题考查的知识要点：函数的单调性与定义域的关系5．“sinθ•cosθ＞0”是“θ是第一象限角”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由sinθ•cosθ＞0推不出θ在第一象限，由θ在第一象限能推出sinθ•cosθ＞0，从而得出结论．解答：解：由sinθ•cosθ＞0⇒θ在第一象限或第三象限，θ在第一象限⇒sinθ•cosθ＞0，∴“sinθ•cosθ＞0”是“θ在第一象限”的必要不充分条件，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题．6．抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为（）A．2B．4C．D．2考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标；求出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结论．解答：解：抛物线y2=16x的焦点F的坐标为（4，0）；双曲线﹣=1的一条渐近线方程为x﹣y=0，∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为=2，故选：D．点评：本题考查双曲线、抛物线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质，考查点到直线的距离公式的应用，求出焦点坐标和一条渐近线方程，是解题的突破口．7．若存在x∈（0，1），使x﹣a＞log0.5x成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，+∞）考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：此不等式属于超越不等式，因此借助于图象来解，注意是存在x∈（0，1），所以只要直线y=x﹣a上至少有一个点在y=log0.5x的上方即可，所以只需考虑端点处的图象间的关系即可．解答：解：在一个坐标系内做出函数y=x﹣a和y=log0.5x的图象，如图所示：当直线y=x﹣a恰好经过（1，0）时，在区间（0，1）上y=x﹣a恰好不存在点在y=log0.5x图象的上方．此时直线y=x﹣a与y轴交于点（0，﹣1），﹣a=﹣1，当直线y=x﹣a沿y轴向上移动时，就会在区间（0，1）上一直存在x，使原不等式成立．此应有﹣a＞﹣1，即a＜1．故选C．点评：本题考查了利用数形结合的思想解决一些超越不等式解的存在性问题，要注意作图的合理性．8．在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量=，=，其中=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）A．B．C．D．考点：平面向量的综合题．专题：综合题．分析：由=（3，1），=（1，3），=λ+μ，知=（3λ+μ，λ+3μ），由0≤λ≤μ≤1，0≤3λ+μ≤λ+3μ≤4，由此能得到正确答案．解答：解：∵向量=，=，=（3，1），=（1，3），=λ+μ，∴=（3λ+μ，λ+3μ），∵0≤λ≤μ≤1，∴0≤3λ+μ≤4，0≤λ+3μ≤4，且3λ+μ≤λ+3μ．故选A．点评：本题考查平面向量的综合题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．二.填空题（每小题5分，满分25分）必做题（9-13题）9．等差数列{an}中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式an=3n﹣5（n∈N+）考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出该数列的通项公式．解答：解：∵等差数列{an}中，a5=10，a12=31，∴，解得a1=﹣2，d=3，∴an=﹣2+3（n﹣1）=3n﹣5．故答案为：3n﹣5．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题．10．若一个几何体的主视图、左视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是．考点：由三视图还原实物图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是一个圆锥，圆锥的底面是一个直径为2的圆，圆锥的母线长是2，根据勾股定理可以得到圆锥的高，利用圆锥的体积公式做出结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个圆锥，圆锥的底面是一个直径为2的圆，圆锥的母线长是2，根据勾股定理可以得到圆锥的高是=∴圆锥的体积是=．故答案为：．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何图形，本题考查在旋转体中一些量一般要在轴截面上进行运算，本题是一个基础题．11．在△ABC中，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA=﹣，B=，b=1，则a=．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：角A为三角形内角，故0＜A＜π，sinA＞0，从而可求sinA=，所以由正弦定理可求a=．解答：解：由题意得，0＜A＜π，sinA＞0．故sinA==，由正弦定理知，⇒a=sinA×=×=．故答案为：．点评：本题主要考察了正弦定理的应用，同角三角函数的关系，属于基础题．12．随机抽取n种品牌的含碘盐各一袋，测得其含碘量分别为a1，a2，…，an，设这组数据的平均值为，则图中所示的程序框图输出的s=（填表达式）考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的n，s的值，当i=n，满足条件i≤n，有s=，当i=n+1，不满足条件i≤n，退出循环，输出s的值．解答：解：执行程序框图，有s=0，i=1满足条件i≤n，有s=i=2满足条件i≤n，有s=i=3…i=n，满足条件i≤n，有s=i=n+1，不满足条件i≤n，退出循环，输出s的值．故答案为：点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．13．设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有①③⑤．（把所有的真命题全填上）①x为直线，y，z为平面；②x，y，z都为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y，z都为直线；⑤x，y为平面，z为直线．考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；简易逻辑．分析：依据线面、面面平行和垂直的判断和性质定理，逐一判定5个命题得答案．解答：解：①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，∴x∥平面y或x⊂平面y．又∵x⊄平面y，故x∥y成立；②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立；③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立；④x，y，z均为直线可异面垂直，故④不成立；⑤z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，⑤成立．故答案为：①③⑤．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，是中档题．三.选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）[坐标系与参数方程选做题]14．直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长为．考点：直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：先将直线的参数方程化成普通方程，再根据弦心距与半径构成的直角三角形求解即可．解答：解：∵直线（t为参数）∴直线的普通方程为x+y﹣1=0圆心到直线的距离为d==，l=2=，故答案为：．点评：本题主要考查了直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，考查计算能力，属于基础题．[几何证明选讲选做题]15．（2014•湖北模拟）（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=3．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；直线与圆．分析：连接OC，由PC是⊙O的切线，可得OC⊥PC，于是，即可解出．解答：解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，又∵∠CPA=30°，R=3，∴，∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键．三.解答题（共6小题，共80分）16．（12分）已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx．（1）求函数f（x）的最大值，并取得最大值时对应的x的值；（2）若f（θ）=，求cos（4θ+）的值．考点：三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．专题：常规题型；三角函数的图像与性质．分析：（1）先利用两角和的正弦公式化成标准形式，然后根据正弦函数的最值求解函数的最大值；（2）根据f（θ）=，得sin（2θ+）的值，然后利用倍角公式求cos（4θ+）的值．解答：解：（1）f（x）=cos2x+2sinxcosx=2sin（2x+）所以f（x）的最大值为2．当2x+=2kπ+，即x=k，k∈Z时取最大值．（2）由已知2sin（2θ+）=得：sin（2θ+）=．∴cos（4θ+）=cos2（2）=1﹣2sin2（2θ+）=．点评：本题考查了三角函数的图象与性质及三角函数的求值问题，研究三角函数的性质关键是化成标准形式；三角函数求值问题关键是选择适当的公式，根据角的关系建立已知表达式和求解的表达式之间的关系．17．（12分）某校1为老师和6名学生暑假到甲、乙、丙三个城市旅行学习，每个城市随机安排2名学生，教师可任意选择一个城市．“学生a与老师去同一个城市”记为事件A，“学生a和b去同一城市”为事件B．（1）求事件A、B的概率P（A）和P（B）；（2）记在一次安排中，事件A、B发生的总次数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：（1）利用等可能事件的概率公式能求出事件A、B的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望Eξ．解答：解：（1）P（A）==，P（B）==．（2）ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=2）=P（a，b与老师去同一城市）==，P（ξ=1）=P（a，b同城，但a与老师不同）+P（a，b不同，a与老师同）==，P（ξ=0）=P（a，b不同，a与老师也不同）==，∴Eξ=2×+1×+0×=．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．18．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1