221双曲线及其标准方程

2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材，并识记双曲线的定义和标准方程，初步会求双曲线的标准方程【知识链接】1.反比例函数的图象：函数y=的图象是双曲线2.椭圆的定义：平面内与两定点的距离的和是常数(大于两定点间距离)的点的轨迹1x主题一：双曲线的定义【自主认知】1.若把椭圆定义中的与两定点的“距离之和”改成“距离之差的绝对值”，这时轨迹又是什么曲线？提示：双曲线.2.如图所示|MF1|与|MF2|哪个大？若点M在另一支上呢？提示：点M在右支上时，|MF1||MF2|；若点M在左支上，则有|MF1||MF2|.3.双曲线上的点M与F1，F2的距离之差是|MF1|-|MF2|还是|MF2|-|MF1|？提示：既包括|MF1|-|MF2|，也包括|MF2|-|MF1|.➡根据以上探究过程，试着写出双曲线的定义：平面内与________________________________________________________________叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫双曲线的_____.两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹焦距【合作探究】1.双曲线的定义中规定“距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)”，若不满足，会是什么结果？提示：若常数等于|F1F2|，则轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；若常数大于|F1F2|，则轨迹不存在.2.如果已知双曲线及双曲线上一点到其中一个焦点的距离，能否得到它到另一焦点的距离？提示：能.根据双曲线的定义，双曲线上的点到两定点的距离之差的绝对值为常数，如果已知双曲线上一点到其中一个焦点的距离，可以求出它到另一个焦点的距离.【过关小练】若F1，F2是两定点，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a(02a|F1F2|)，则动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线靠近F2的一支C.双曲线靠近F1的一支D.一条线段【解析】选B.由双曲线定义当||PF2|-|PF1||=2a(02a|F1F2|)时动点P的轨迹是双曲线，所以满足|PF1|-|PF2|=2a(02a|F1F2|)的动点P的轨迹是双曲线靠近F2的一支.主题二：双曲线的标准方程【自主认知】1.根据双曲线的几何特征，如何建立坐标系才能使双曲线的方程比较简单？提示：选择x轴(或y轴)经过两个定点F1，F2，并且使坐标原点为线段F1F2的中点，这样两个定点的坐标比较简单，从而求得的双曲线方程也简单.2.若以两焦点F1，F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线所在直线为y轴建立坐标系，则此时双曲线上任一点M满足的条件是什么？提示：根据双曲线的定义知满足条件||MF1|-|MF2||=2a.➡根据以上探究过程，试着写出求双曲线的标准方程：焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程____________________________________焦点坐标________________________________a，b，c关系c2=_____2222xy1a0,b0ab2222yx1a0,b0ab(-c，0)，(c，0)(0，-c)，(0，c)a2+b2【合作探究】1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是什么？提示：确定参数a，b的值.2.求双曲线的标准方程时，设出双曲线方程的关键是什么？提示：关键是先确定焦点的位置，若双曲线的焦点位置不能确定，要分别写出焦点在x轴、y轴上的双曲线的标准方程，不能遗漏.【过关小练】1.已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点和则双曲线的标准方程是________.【解析】由已知，可设所求双曲线方程为解得所以双曲线的方程为答案：(342),－9(,5)4，2222yx1a0b0ab＝＞，＞，22223291,ab25811,a16b则22a16,b9,22yx1169＝．22yx1169＝2.已知双曲线x2-y2=m与椭圆2x2+3y2=72有相同的焦点，求m的值.【解析】椭圆方程为c2=a2-b2=36-24=12,所以焦点双曲线与椭圆有相同焦点，所以2m=12,所以m=6.22xy1,362412F(23,0)F(230)，，，22xy1mm【归纳总结】1.对双曲线定义的三点说明(1)a，c关系：02a2c，可用双曲线焦点三角形PF1F2的两边之差小于第三边来记忆，若点P刚好是双曲线与F1，F2所在直线的交点，此时构不成三角形，仍然很容易得到2a2c.(2)关键词：“平面内”“距离差的绝对值”“常数2a(a0)小于|F1F2|”.(3)左右支：当M满足|MF1|-|MF2|=2a|F1F2|时，M点的轨迹是离点F2较近的双曲线一支；当M满足|MF2|-|MF1|=2a|F1F2|时，M点的轨迹是离点F1较近的双曲线一支.2.对双曲线标准方程的四点说明(1)双曲线的焦点在x轴上⇔标准方程中的x2项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上⇔标准方程中的y2项的系数为正.(2)求双曲线的标准方程，首先要确定焦点的位置，选择好标准方程的形式，再根据条件求出a2和b2的值即可，也就是先定位再定型.(3)注意标准方程中字母参数a，b与半焦距c的条件及关系：c2=a2+b2，ca0，cb0，a与b的大小不定.(4)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准方程.【拓展延伸】1.双曲线与椭圆的区别与联系椭圆双曲线|MF1|+|MF2|=2a|MF1|-|MF2|=±2aa2=b2+c2c2=a2+b2a比b大a不一定比b大焦点位置与分母大小相对应焦点位置与项的正负对应2222xy1,ab2222yx1(ab0)ab＞＞22222222xyyx1,1(a0,b0)abab＞＞2.翻转法求焦点在y轴上的椭圆方程可借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知焦点在x轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在y轴上的椭圆的标准方程.只需将图(1)沿直线y=x翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转90°即可转化成图(2)，需将x轴、y轴的名称换为y轴、-x轴.类型一：求双曲线的标准方程【典例1】(1)(2015·嘉兴高二检测)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，-5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6.则双曲线的标准方程为________.(2)动圆M与☉C：(x+2)2+y2=2内切，且过点A(2，0)，求圆心M的轨迹方程.【解题指南】(1)由题意焦点在y轴上，设出标准方程利用待定系数法求解.(2)利用两圆内切和圆过定点，可以得到点M满足的条件，进而判断符合双曲线的定义.【解析】(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为因为2a＝6,2c＝10，所以a＝3，c＝5.所以b2＝52－32＝16.所以所求双曲线标准方程为答案：2222yx1a0b0ab＝＞，＞．22yx1.916＝22yx1916＝(2)设动圆M的半径为r,因为⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，所以|MC|=｜MA｜=r,因此有｜MA｜-｜MC｜=所以点M的轨迹是以C,A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程是r2，2，222y2x1x2.7【延伸探究】1.(变换条件)本典例(2)改为动圆与☉C1：x2+(y-1)2=1和☉C2：x2+(y+1)2=4都外切，求圆心M的轨迹方程.【解析】因为☉M与☉C1、☉C2均外切，所以|MC1|=r+1，|MC2|=r+2，因此有|MC2|-|MC1|=1，所以点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的上支，所以M的轨迹方程是224x14y1(y).322.(变换条件)本典例(2)中条件改为动圆M与☉C1：(x+3)2+y2=9外切，且与☉C2：(x-3)2+y2=1内切，求圆心M的轨迹方程.【解析】因为☉M与☉C1外切，且☉M与☉C2内切，所以|MC1|=r+3，|MC2|=r-1，因此|MC1|-|MC2|=4，所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，所以M的轨迹方程是22xy1(x2)45．【规律总结】1.待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式,①若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB0).②与双曲线共焦点的双曲线的标准方程可设为(-b2λa2).2222xy1ab2222xy1ab(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.(4)结论：写出双曲线的标准方程.2.定义法求双曲线方程的步骤(1)列出动点满足的条件(2)整理化简条件式，若满足动点到两定点的距离的差(或差的绝对值)是常数，则可以判定动点的轨迹是双曲线的一支(或完整的双曲线)(3)利用两定点间的距离和常数，可以求出a，c，进而得系数b，可以写成标准方程.【补偿训练】1.已知双曲线的焦点分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点P(－3,2)，则双曲线的标准方程是_______．【解析】由题知c＝2，又点P到(0，－2)和(0,2)的距离之差的绝对值为2a，所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝3，又焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为答案：22222a(30)2230222＝［］＝，22xy1.3－＝22xy13－＝2.已知与双曲线共焦点的双曲线过点求该双曲线的标准方程．【解析】已知双曲线得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，所以c＝5.设所求双曲线的标准方程为依题意，c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－a2，故双曲线方程可写为22xy1169＝5P(6)2－,－，22xy1169＝，2222xy1a0b0ab＝，．2222xy1a25a＝，因为点在双曲线上，所以化简得，4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或又当时，b2＝25－a2＝不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24.所以所求双曲线的标准方程为5P(6)2－，－22225()(6)21.a25a2125a.4＝2125a4＝1252525044－＝－，22yx1.24－＝类型二：双曲线的定义【典例2】已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积.【解题指南】由条件知|PF2|－|PF1|＝6,再利用余弦定理得△F1PF2的边角关系，进而求得面积.22xy1916－＝【解析】由已知得，a=3，b=4，所以2c=10，2a=6.因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|-|PF1|=6，两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.c9165，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝所以∠F1PF2＝90°，所以222121212|PF||PF||FF|2|PF||PF|1210010002|PF|PF＝，12FPF1211S|PF||PF|3216.22△＝＝＝【延伸探究】1.(变换条件)若双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离.【解析】由双曲线的标准方程可知a＝3，b＝4，由双曲线的定义，得||PF2|－|PF1||＝2a＝6，则||PF2|－10|＝6，解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.22xy1916＝，22cab5.＝＝2.(变换条件)把题设条件“|PF1|·|PF2|＝32”换成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，试求△F1PF2的面积.【解析】由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，|PF2|－|PF1|＝6，可知|PF2|=10，|PF1|＝4.所以12FPF1S44686.2△＝＝【规