223待定系数法

1/8张喜林制2.2.3待定系数法教材知识检索考点知识清单(1)为求出一个正比例函数，可设正比例函数为____，其中待定．(2)如果已知函数是二次函数，则可设所求函数为或或．(3)-般地，在求一个函数的解析式时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求的函数写为____，其中____待定，然后根据题设条件求出这些系数，这种通过求来确定变量之间的关系式的方法叫做．要点核心解读1．待定系数法(1)待定系数法的概念要确定变量间的函数关系，根据所给条件设出某些待定系数，并确定这一关系式的基本表达形式，从而求出表达式中含有的待定系数的方法，叫做待定系数法．(2)待定系数法的理论依据其理论依据是多项式恒等原理，也就是依据了多项式),()(xgxf即对于一个任意的a值，都有),()(agaf或者两个标准多项式中各同类项的系数对应相等，利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未定系数的等式，运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．(3)利用待定系数法解决问题的步骤①设出含有待定系数的解析式；②根据恒等条件，列出含待，定系数的方程或方程组；③解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．2．运用待定系数法求已学函数解析式的常见设法(1)已知正比例函数，可设解析式为),0(kkxy再利用一个独立条件求k．(2)已知一次函数，可设解析式为),0(kbkxy再利用两个独立条件确定k与b．(3)已知反比例函数，可设解析式为),0(kxky再利用一个独立条件确定k．(4)已知二次函数，求其解析式．根据所给条件的不同选择合适的待定系数，可使问题简化，常见方法有：①已知顶点坐标为（h，k），可设顶点式),0()(2akhxay再利用一个独立条件求a；②已知2/8对称轴方程为,hx可设顶点式khxay2)(),0(a再利用两个独立条件确定a和k；③已知函数的最大值或最小值为k，可设顶点式),0()(2akhxay再利用两个独立条件确定a与h；④已知函数与x轴只有一个交点(h，0)，可设交点式),0()(2ahxay再利用一个独立条件确定a；⑤已知函数与x轴有两个交点),0,(),0,(21xx可设交点式y),0)()((21axxxxa再利用一个独立条件确定a⑥已知函数图象上两对称点),,(),,(21mxmx可设对称点式).(1xxay),0()(2amxx再利用一个独立条件确定a；⑦已知函数图象上的三点，可设一般式)0(2acbxaxy典例分类剖析考点1用待定系数法求一次函数的解析式[例1](1)一个正比例函数的图象通过点（1，-2），求这个正比例函数的解析式．(2)若).(xf为一次函数，且满足,21)]([xxff求).(xf[解析](l)设所求函数为),0(kkxy其中k待定．由已知条件得.2,12kk得因此，所求函数为.2xy(2)首先设),0()(kbkxxf然后将)]([xff表示出来，利用对应系数相等即可求得k、b．设,21)]([),0()(2xbkbxkxffkbkxxf则对比系数得,1,22bkbk解得12,2bk或.12,2bk故122)(xxf或.122)(xxf[点拨]利用待定系数法求函数的解析式，应知函数解析式的形式．母题迁徙1.-次函数在y轴上的截距是1，且与反比例函数的图象交于点P(l，3)，求一次函数与反比例函数的解析式．考点2用待定系数法求二次函数的解析式[例2]已知二次函数的图象的顶点是（1，-3），且经过点P(2，0)，求这个函数的解析式．[解析]此题已知图象上的两点，如果用一般式，似乎差一个条件，但考虑对称轴及顶点坐标公式，就可以列出三元一次方程组．解法一：设所求函数的解析式为)0(2acbxxay3/8由题意得,12,024,3abcbacba解得.0,6,3cba∴函数的解析式为.632xxy解法二：设所求函数的解析式为)0(2acbxaxy由题意得③②①..344,12,0242abacabcba由②得④.2ab把④代入③得⑤即.3,34442acaaac把④代入①得.0c把c=0代入⑤得.3a把a=3代入④得.6b∴函数的解析式为.632xxy解法三：设所求函数的解析式为,)(2khxay则顶点坐标为(h，k)，而已知顶点为（1，-3），可得,3,1kh即所求的二次函数为.3)1(2xay又∵图象经过点P(2，0)，.3,3)12(02aa∴函数的解析式为.633)1(322xxyxy，即解法四：设二次函数为),)((21xxxxay21.xx是图象与x轴两交点的横坐标．∵图象与x轴的一个交点为(2，0)，且对称轴是,1x故图象与x轴的另一个交点为(0，0)．,2,021xx故所求的函数解析式为)2()20(xaxxxay）（又二次函数的顶点为（1，-3）,.3),21(13aa4/8故所求的函数解析式为.63),2(32xxyxx即[点拨]根据题设条件适当选择二次母题迁徙2．（2012年广东模拟)已知二次函数).(xf满足如下条件：①图象过原点；);20002(xf②xxf)(③方程有重根，试求).(xf解析式．考点3待定系数法的应用[例3](1)分解因式;276222yyxyx(2)若,111132xBxAxx求A，B的值；(3)将)2(1nn写成两式的差．[解析]),2)(32(62)1(22yxyxyxyx2222)2)(32(2762xbyxayxyyxyx.)23()2(62abyabxbayxy,2,723,02ababba解得.1,2ba)12)(232(276222yxyxyyxyx,1)()(11113)2(22xBAxBAxBxAxx,1,3BABA解得.1,2BA(3)设,2)2(1nBnAnn则,)2(1)2(2)()2(2nnnnAnBAnnBnAAn,12,0ABA21,21BA故)2(2121)2(1nnnn母题迁徙3．(1)在有理数范围内分解因式233xx;1x5/8(2)若,11)1)(1(233222xCxBAxxxxx求A，B，C．优化分层测训学业水平测试1．函数).(xf为一次函数，且,0)1(,2)1(ff则)(xf为()．1.xA1.xB1.xC1.xD2．如果一次函数的图象过点(1，0)及点(0，1)，则此一次函数的解析式为()．1xyA1xyB1xyC1xyD3．已知函数qpxxxf2)(满足)1(f,0)2(f则)1(f6/84．已知函数)(xfy的图象如图2-2-3-l中线段AB(不包括右端点)，则)(xf的解析式为)(xf5．已知)(xf为一次函数，且)2(3)1(2ff,1)0()1(2,3ff求)(xf6．已知)(xf为二次函数，且)0(,7)2(,3)2(fff,3求)(xf高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8=40分）1．已知二次函数的图象的顶点为（2，-1），且过点(3，1)，则该函数的解析式为()．1)2(22xyA1)2(22xyB1)2(22xyC1)2(22xyD2．二次函数2axy的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得新函数的解析式为()．3)2(2xayA3)2(.2xayB3)2(2xayC3)2(2xayD3．函数1)2(2mxmym是正比例函数，那么m的值是()．2.A1.B0.C21.或D4．已知一次函数1,xbkxy时，,2y且它的图象与y轴的交点的纵坐标为-5，那么它的解析式为()．53xyA53xyB53xyC53xyD5．过点A（-2，3）的反比例函数的解析式是()．xyA6xyB6xyC23xyD236．已知抛物线过（-1，O），(2，7)，(1，4)三点，则其解析式为()．352312xxyA352312xxyB352312xxyC352312xxyD7．已知),)(1(322baxxxx则a、b的值为()．21.、A23.、B32.、C32.D8．将二次函数2xy的图象沿y轴向下平移^个单位，再沿x轴向左平移k个单位得到322xxy的图象，则h、k的值分别为()．12.、A12.、B12.、C12.、D二、填空题（5分×4=20分）9．（2006年福建高考题）已知)(xf是二次函数，不等式0)(xf的解集是(0，5)，且)(xf在区间[-1，7/84]上的最大值是12，则)(xf的解析式是10.（2005年江苏高考题）已知a，b为常数，若xxxf4)(2,2410)(,32xxbaxf则ba511.如图2-2-3-2所示为某桥桥洞的横断面，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面的高度为米．12．多项式myxyxyx865622能够分解成两个一次因式的乘积，则m的值为三、解答题（10分×4=40分）13.（福建高考节选）已知)(xf是二次函数，不等式0)(xf的解集是},50|{xx且)(xf在区间[-1，4]上的最大值是12，求)(xf的解析式．14.若一次函数的图象经过点),0,25(且与坐标轴围成的三角形的面积为,425求该函数的解析式．15.已知函数babaxxxf,)(2为常数）且方程012)(xxf的两个实根为,4,321xx求函数)(xf的解析式．16.设).(xf是定义在R上的偶函数，当)(,1xfyx时的图象是经过点（-2，0）且斜率为1的射线，又在)(xfy的图象中，有一部分是顶点在(0，2)，且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数)(xf8/8的表达式.