2013高中数学1-2第2课时等比数列的性质同步导学案北师大版必修5

1第2课时等比数列的性质知能目标解读1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.2.理解等比数列的性质及应用.3.掌握等比数列的性质并能综合运用.重点难点点拨重点：等比数列性质的运用.难点：等比数列与等差数列的综合应用.学习方法指导1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列.2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列{an}中依次取出的数为ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…,则kmkaa2=mkmkaa2=mkmkaa23=…=qm(q为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列.3.如果数列{an}是等比数列，公比为q,c是不等于零的常数，那么数列{can}仍是等比数列，且公比仍为q;{|an|}|q|.我们可以设数列{an}的公比为q,且满足nnaa1=q,则nncaca1=nnaa1=q,所以数列{can}仍是等比数列，公比为q.同理，可证{|an|}也是等比数列，公比为|q|.4.在等比数列{an}中，若m+n=t+s且m,n,t,s∈N+则aman=atas.理由如下：因为aman=a1qm-1·a1qn-1=a21qm+n-2,atas=a1qt-1·a1qs-1=a21qt+s-2,又因为m+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积.5.若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1,q2,则（1）{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2.(2){nnba}仍为等比数列，且公比为21qq.理由如下：（1）nnnnbaba11=q1q2,所以{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2;(2)nnnnbaba11·nnab=21qq,所以｛nnba}仍为等比数列，且公比为21qq.知能自主梳理1.等比数列的项与序号的关系（1）两项关系通项公式的推广：2an=am·(m、n∈N+).(2)多项关系项的运算性质若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，则am·an=.特别地，若m+n=2p(m、n、p∈N+），则am·an＝.2.等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项的平方），即a1·an＝a2·=ak·=a21n2(n为正奇数).［答案］1.qn-map·aqa2p2.an-1an-k+1思路方法技巧命题方向运用等比数列性质an=am·qn-m(m、n∈N+)解题［例1］在等比数列{an}中，若a2=2,a6=162,求a10.［分析］解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q,再求a10.［解析］解法一：设公比为q,由题意得a1q=2a1=32a1=-32，解得，或.a1q5=162q=3q=-3∴a10=a1q9=32×39=13122或a10=a1q9=-32×（-3）9=13122.解法二：∵a6=a2q4,∴q4=26aa=2162=81,∴a10=a6q4=162×81=13122.解法三：在等比数列中，由a26=a2·a10得a10=226aa=21622=13122.［说明］比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.变式应用1已知数列{an}是各项为正的等比数列，且q≠1,试比较a1+a8与a4+a5的大小.［解析］解法一：由已知条件a10,q0，且q≠1,这时(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)·（1-q4）=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)0,显然，a1+a8a4+a5.3解法二：利用等比数列的性质求解.由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).当0q1时，此正数等比数列单调递减，1-q3与a1-a5同为正数，当q1时，此正数等比数列单调递增，1-q3与a1-a5同为负数，∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正.∴a1+a8a4+a5.命题方向运用等比数列性质am·an=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解题［例2］在等比数列{an}中，已知a7·a12=5，则a8·a9·a10·a11=（）A.10B.25C.50D.75［分析］已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程.［答案］B［解析］解法一：∵a7·a12=a8·a11=a9·a10=5，∴a8·a9·a10·a11=52=25.解法二：由已知得a1q6·a1q11=a21q17=5，∴a8·a9·a10·a11=a1q7·a1q8·a1q9·a1q10=a41·q34=(a21q17)2=25.［说明］在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立a1,q的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.变式应用2在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.［解析］∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.又∵a4a8=5,an0,∴a4+a8=284)(aa=2884242aaaa=51.探索延拓创新命题方向等比数列性质的综合应用［例3］试判断能否构成一个等比数列{an}，使其满足下列三个条件：①a1+a6=11;②a3·a4=932;③至少存在一个自然数m,使32am-1,am,am+1+94依次成等差数列，若能，请写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由.［分析］由①②条件确定等比数列{an}的通项公式，再验证是否符合条件③.［解析］假设能够构造出符合条件①②的等比数列{an},不妨设数列{an}的公比为q,由条件①②及a1·a6=a3·a4,得a1+a6=11a1=31a1=332，解得，或a1·a6=932a6=332a6=31.4a1=31a1=332从而，或.q=2q=21故所求数列的通项为an=31·2n-1或an=31·26-n.对于an=31·2n-1,若存在题设要求的m,则2am=32am-1+（am+1+94）,得2（31·2m-1）=32·31·2m-2+31·2m+94,得2m+8=0,即2m=-8,故符合条件的m不存在.对于an=31·26-n,若存在题设要求的m，同理有26-m-8=0,即26-m=8,∴m=3.综上所述，能够构造出满足条件①②③的等比数列，通项为an=31·26-n.［说明］求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用.变式应用3在等差数列{an}中，公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,……成等比数列，求数列{kn}的通项kn.［解析］由题意得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，又d≠0,∴a1=d.∴an=nd.又a1,a3,ak1,ak2,……,akn,……成等比数列，∴该数列的公比为q=13aa=dd3=3.∴akn=a1·3n+1.又akn=knd,∴kn=3n+1.所以数列{kn}的通项为kn=3n+1.名师辨误做答［例4］四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为143，求这个等比数列的公比.［误解］设这四个数为aq-3,aq-1,aq,aq3,由题意得a3q-3=1,①5aq-1+aq+aq3=143.②由①得a=q,把a=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2=21或q2=-23(舍去)，故所求的公比为21.［辨析］上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q2,则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误.［正解］设四个数依次为a,aq,aq2,aq3,由题意得（aq）3=1,①aq+aq2+aq3=143.②由①得a=q-1,把a=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0,解得q=21或q=-23,故所求公比为21或-23.课堂巩固训练一、选择题1.在等比数列｛an｝中，若a6=6,a9=9,则a3等于（）A.4B.23C.916D.3［答案］A［解析］解法一：∵a6=a3·q3,∴a3·q3=6.a9=a6·q3，∴q3=69=23.∴a3=36q=6×32＝4.解法二：由等比数列的性质，得a26=a3·a9，∴36=9a3，∴a3=4.2.在等比数列｛an｝中,a4+a5=10,a6+a7=20,则a8+a9等于（）A.90B.30C.70D.40［答案］D［解析］∵q2=5476aaaa=2,∴a8+a9=（a6+a7）q2=20q2=40.3.如果数列｛an｝是等比数列，那么（）A.数列｛a2n｝是等比数列B.数列｛2an｝是等比数列C.数列｛lgan｝是等比数列D.数列｛nan｝是等比数列6［答案］A［解析］数列｛a2n｝是等比数列，公比为q2,故选A.二、填空题4.若a,b,c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为.［答案］12b=a+c,［解析］由题意知b2=ac,解得a=b=c,∴q=1.5.在等比数列｛an｝中，公比q=2,a5=6,则a8=.［答案］48［解析］a8=a5·q8-5=6×23=48.三、解答题6.已知{an}为等比数列，且a1a9=64,a3+a7=20，求a11.［解析］∵{an}为等比数列,∴a1·a9=a3·a7=64,又a3+a7=20,∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20,∴1+q4=5，∴q4=4.当a3=16时，a3+a7=a3（1+q4）=20,∴1+q4=45，∴q4=41.∴a11=a1q10=a3q8=64或1.课后强化作业一、选择题1.在等比数列{an}中，a4=6,a8=18,则a12=（）A.24B.30C.54D.108［答案］C［解析］∵a8=a4q4,∴q4=48aa=618=3,∴a12=a8·q4=54.2.在等比数列｛an｝中，a3=2-a2,a5=16-a4,则a6+a7的值为（）A.124B.128C.130D.132［答案］B［解析］∵a2+a3=2,a4+a5=16,又a4+a5=(a2+a3)q2,∴q2=8.7∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8＝128.3.已知｛an｝为等比数列，且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于（）A.5B.10C.15D.20［答案］A［解析］∵a32=a2a4,a52=a4a6,∴a32+2a3a5+a52=25,∴(a3+a5)2=25,又∵an0,∴a3+a5=5.4.在正项等比数列｛an｝中，a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根，则a8·a10·a12等于（）A.16B.32C.64D.256［答案］C［解析］由已知，得a1a19=16,又∵a1·a19=a8·a12=a102,∴a8·a12=a102=16,又an0,∴a10=4,∴a8·a10·a12=a103=64.5.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a25,a2=1,则a1=（）A.21B.22C.2D.2［答案］B［解析］∵a3·a9=a26,又∵a3a9=2a25,∴a26=2a25,∴（56aa）2=2,∴q2=2,∵q