2013高中数学1-2第3课时等比数列的前n项和同步导学案北师大版必修5

1第3课时等比数列的前n项和知能目标解读1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况.3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导1.等比数列的前n项和公式（1）设等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为na1(q=1)Sn=.qqan1)1(1(q≠1)也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论.（2）等比数列{an}中，当已知a1,q(q≠1)，n时，用公式Sn=qqan1)1(1，当已知a1,q(q≠1)，an时，用公式Sn=qqaan11.2.等比数列前n项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.(1)合比定理法由等比数列的定义知：12aa=23aa=…=1nnaa=q.当q≠1时，12132nnaaaaaa=q,即nnnaSaS1=q.故Sn=qqaan11=qqan1)1(1.当q=1时，Sn=na1.(2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)当q≠1时，Sn=qqaan11=qqan1)1(1.当q=1时，Sn=na1.2(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n≥2)∵当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1∴Sn=a1+q(Sn-an)即(1-q)Sn=a1(1-qn)当q≠1时，有Sn=qqan1)1(1,当q=1时，Sn=na1.注意：(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{an·bn}的前n项和.3.等比数列前n项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1的讨论.4.等比数列前n项和公式与函数的关系(1)当公比q≠1时，令A=qa11，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.(2)当q≠1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.知能自主梳理1.等比数列前n项和公式（1）等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn==;当q=1时，Sn=.(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.2.公式特点（1）若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q≠0,q≠1，则数列{an}为.（2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求.［答案］1.（1）qqan1)1(1qqaan11na1(2)错位相减法2.（1）等比数列（2）三二思路方法技巧命题方向等比数列前n项和公式的应用［例1］设数列｛an｝是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.3［分析］应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.［解析］当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；当q≠1时，qqa1)1(31=3a1q2,因为a1≠0,所以1－q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,解得q=-21.综上所述，公比q的值是1或－21.［说明］（1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.（2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论.（3）等比数列前n项和公式中，当q≠1时，若已知a1,q,n利用Sn=qqan1)1(1来求；若已知a1,an,q,利用Sn=qqaan11来求.变式应用1在等比数列{an}中,已知S3=27,S6=263,求an.［解析］∵S6=263,S3=27,∴S6≠2S3，∴q≠1.qqa1)1(31=27①∴qqa1)1(61=263②②÷①得1+q3=9,∴q=2.将q=2代入①，得a1=21,∴an=a1qn-1=2n-2.命题方向等比数列前n项的性质［例2］在等比数列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.［分析］利用等比数列前n项的性质求解.［解析］∵{an}为等比数列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)∴S3n=nnnSSS22)(+S2n=48)4860(2+60=63.［说明］等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.4变式应用2等比数列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.［解析］解法一：∵{an}为等比数列，∴S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,∴S4=28.解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.qqa1)1(21=7①∴qqa1)1(61=91②①②得q4+q2-12=0,∴q2=3,∴q=±3.当q=3时，a1=2)13(7,∴S4=qqa1)1(41=28.当q=-3时，a1=-2)13(7,∴S4=qqa1)1(41=28.探索延拓创新命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用［例3］某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg2≈0.3)［解析］(1)第一年年底本利和为a+a·25%=1.25a,第二年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.(2)第n年年底本利和为bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.(3)依题意，有395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,5∴x=125.1)125.1(25.1)425.1(3951920=25.125.1)425.1(39525.02020.①设1.2520=t,∴lgt=20lg（810）=20(1-3lg2)=2.∴t=100,代入①解得x=96.变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10％，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？［解析］第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x,第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行［20000(1+10%)-x］(1+10%)-x=20000×1.12-1.1x-x,…第10次还款x元后，还欠银行20000×1.110－1.19x-1.18x-…-x,依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,解得x=11.11.01.1200001010≈3255(元).名师辨误做答［例4］求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n项和.［误解］所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+…+a12)1(nn=aann112)1(.［辨析］所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论.［正解］由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,…中依次取出1项，2项，3项，4项，……的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前（1+2+…+n）项.所以Sn=1+a+a2+…+a12)1(nn.①当a=0时，Sn=1.②当a=1时，Sn=2)1(nn.③当a≠0且a≠1时，Sn=aann112)1(.课堂巩固训练一、选择题61.等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则24aS=（）A.2B.4C.215D.217［答案］C［解析］由题意得24aS=221)22(141aa=215.故选C.2.等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）A.-2B.1C.-2或1D.2或-1［答案］C［解析］由题意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.3.等比数列{2n}的前n项和Sn=（）A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2［答案］D［解析］等比数列｛2n｝的首项为2，公比为2.∴Sn=qqan1)1(1=21)21(2n=2n+1-2,故选D.二、填空题4.若数列{an}满足：a1=1,an+1=2an（n∈N+），则a5=;前8项的和S8=.（用数字作答）［答案］16255［解析］考查等比数列的通项公式和前n项和公式.q=nnaa1=2,a5=a1·q4=16,S8=qqa1)1(81=28-1=255.5.在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.［答案］3［解析］∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减，得a3-a4=-2a3,∴a4=3a3,∴q=3.三、解答题6.在等比数列{an}中，已知a6-a4=24，a3·a5=64，求数列{an}的前8项和.［解析］解法一：设数列{an}的公比为q，根据通项公式an=a1qn-1，由已知条件得a6-a4=a1q3(q2-1)=24,①a3·a5=(a1q3)2=64,②7∴a1q3=±8.将a1q3=-8代入①式，得q2=-2,没有实数q满足此式，故舍去.将a1q3=8代入①式，得q2=4,∴q=±2.当q=2时，得a1=1,所以S8=qqa1)1(81=255;当q=-2时，得a1=-1，所以S8=qqa1)1(81=85.解法二：因为{an}是等比数列，所以依题意得a24=a3·a5=64,∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.因为{an}是实数列，所以46aa＞0,故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，从而a5=±64aa=±16.公比q的值为q=45aa=±2,当q=2时，a1=1,a9=a6q3=256,∴S8=qaa191=255;当q=-2时