2013高二数学第3章综合测试北师大版必修5

1第三章综合测试（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中）1.已知ab,cd,n≥2，n∈N,那么下列一定正确的是（）A.cbdaB.acbdC.anbnD.a+cb+d［答案］D［解析］A中，令a=2,b=1,c=1,d=-1,则da=-2,cb=1,dacb,排除A；B中，令a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,则ab=2,cd=12,abcd,排除B；C中，令a=-1,b=-2,n=2,a2=1,b2=4,a2b2，排除C，故选D.2.（2011·南安高二检测）设m=(x+5)(x+7),n=(x+6)2,则m、n的大小关系是（）A.m≤nB.mnC.mnD.m≥n［答案］C［解析］∵m=(x+5)(x+7)=x2+12x+35,n=(x+6)2=x2+12x+36,∴m-n=-10,∴mn.3.若a＜0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2＞0的解是（）A.x＞5a或x＜-aB.x＞-a或x＜5aC.5a＜x＜-aD.-a＜x＜5a［答案］B［解析］不等式化为：（x+a）(x-5a)＞0,相应方程的两根x1=-a,x2=5a.∵a＜0，∴x1＞x2.∴不等式的解为x＜5a或x＞-a.4.（2011·广东文，5）不等式2x2-x-10的解集是（）A.(-21,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-21)∪(1,+∞)［解答］D［解析］本题主要考查一元二次不等式的解法，利用分解因式.2x2-x-1=(2x+1)(x-1)0，所以不等式的解集为（-∞,-21）∪(1,+∞).5.如果函数y=ax2+bx+a的图像与x轴有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域（不含边界）为（）2［答案］C由题意知Δ=b2-4a20，∴(b-2a)(b+2a)0，b-2a0b-2a0∴或，画图知选C.b+2a0b+2a06.(2011·重庆理，7)已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=a1+b4的最小值是（）A.27B.4C.29D.5C本题主要考查基本不等式在求最值中的应用.∵a+b=2,∴2a+2b=1,∴y=a1+b4=(a1+b4)(2a+2b)=25+ba2+ab2,∵a0,b0,∴ba2+ab2≥2abba22=2,当且仅当ba2=ab2,且a+b=2,即a=32,b=34时取得等号，∴y的最小值是29，选C.7.设a1b-1,则下列不等式中恒成立的是（）A.a1b1B.a1b1C.ab2D.a22b［答案］C［解析］因为a1,b21,所以ab2.故选C.8.若不等式（a-2）x2+2(a-2)x-40对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（）A.(-∞,2］B.(-2,2)C.(-2,2］D.(-∞,-2)［答案］C［解析］当a-2=0,即a=2时，原不等式化为-40对一切x∈R恒成立.当a-2≠0，即a≠2时，由题意，得a-20，解得-2a2.Δ=4(a-2)2+16(a-2)0综上所述，a的取值范围为-2a≤2，故选C.9.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站公里处.（）3A.4B.5C.6D.7［答案］B［解析］由已知，y1＝x20,y2=0.8x(x为仓库与车站的距离)，费用之和y=y1+y2=0.8x+x20≥2xx208.0=8,当且仅当0.8x=x20,即x=5时等号成立.x+y≥2,10.（2011·福建理，8）已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域x≤1,y≤2上的一个动点,则OMOA的取值范围是（）A.［-1,0］B.［0,1］C.［0,2］D.［-1,2］［答案］C［解析］本题主要考查向量的坐标运算与线性规划知识.OMOA=(-1,1)·(x,y)=y-x,画出线性约束条件x+y≥2x≤1表示的平面区域如图所示.y≤2可以看出当z=y-x过点A(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则OMOA的取值范围是［0,2］,故选C.11.（2012·长沙模拟）已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么22yx的最小值为（）A.5B.10C.25D.210［答案］A［解析］∵y=5-2x,∴22yx=22)25(xx=252052xx=5)2(52x∴当x=2时，22yx的最小值为5.12.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x-y=0对称，kx-y+2≥0动点P（a,b）在不等式组kx-my≤0，表示的平面区域内部及边界上运动，则ω=y≥012ab的取值范围是（）A.［2,+∞）B.(-∞,-2］C.［-2,2］D.（-∞,-2］∪［2,+∞）［答案］D［解析］由题意分析直线y=kx+1与直线x-y=0垂直，所以k=-1,即直线y=-x+1.4又圆心C(-2,2mk)在直线x-y=0上，可求得m=-1.-x-y+2≥0则不等式组为-x+y≤0，所表示的平面区域如图，ω=12ab的几何意义是点Q(1,2)y≥0与平面区域上点P(a,b)连线斜率的取值范围.kOQ=2,kAQ=-2,故ω的取值范围为（-∞,-2］∪［2,+∞).第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）13.点（-2,t）在直线2x-3y+6=0的左上方，则t的取值范围是.［答案］(32,+∞)［解析］当x=-2时，2×(-2)-3y+6=0,∴y=32,∴t32.14.不等式2x2+2x-4≤21的解集为.［-3，1］不等式2x2+2x-4≤21化为2x2+2x-4≤2-1，∴x2+2x-4≤-1,∴x2+2x-3≤0,∴-3≤x≤1,∴原不等式的解集为［-3，1］.y≤x15.已知z=2x-y，式中变量x，y满足约束条件x+y≥1，则z的最大值为.x≤2［答案］5y≤x［解析］由x+y≥1，作出可行域如图.x≤2由图可知，目标函数z=2x-y在点A（2，-1）处取最大值z=2×2+1=5.516.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是.332由x2+y2+xy=1得1=(x+y)2-xy∴(x+y)2=1+xy≤1+(2yx)2,解得－332≤x+y≤332,∴x+y的最大值为332.三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）623xx≤117.（本小题满分12分）解不等式组.2x2-x-10［解析］623xx≤1642xx≤0x∈［-2,6）,2x2-x-10(2x+1)(x-1)0x∈(-∞,-21)∪(1+∞),所以，原不等式组的解集为x∈［-2,-21）∪(1,6).18.（本小题满分12分）已知关于x的不等式（a2-4）x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围.当a2-4=0,即a=±2.若a=2时，原不等式化为4x-1≥0，∴x≥41.此时，原不等式的解集不是空集.若a=-2时，原不等式化为-1≥0，无解.此时，原不等式的解集为空集.当a2-4≠0时，由题意，得a2-40Δ=(a+2)2-4(a2-4)×（-1）0∴-2a56.综上所述，a的取值范围为-2≤a56.19.(本小题满分12分)已知x,y都是正数.6(1)若3x+2y=12,求xy的最大值；(2)若x+2y＝3,求yx11的最小值.［解析］(1)xy=61·3x·2y≤61(223yx)2=6.3x=2y,x=2当且仅当即时取“＝”号.3x+2y=12,y=3所以当x=2,y＝3时，xy取得最大值6.（2）x1+)2(311yxy(yx11)=31(3+yx+xy2)≥31(3+2xyyx2)=1+322.yx=xy2x=-3+32当且仅当,即时，取“=”号.x+2y=3y=3-223所以，当x=-3+32,y=3-223时，yx11取得最小值1+322.20.（本小题满分12分）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％，可能的最大亏损率分别为30％和10％，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？［解析］设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，x+y≤10由题意知0.3x+0.1y≤1.8，目标函数z=x+0.5y.x≥0y≥0上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.作直线l0:x+0.5y=0,并作平行于直线l0的一组直线，x+0.5y=z,z∈R.与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解方程组x+y=10x=4得.70.3x+0.1y=1.8y=6此时z=1×4+0.5×6＝7（万元）.x=4∴当，时z取得最大值.y=6答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能盈利最大.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=baxx2(a、b为常数)，且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k1，解关于x的不等式f(x)xkxk2)1(.(1)将x1=3,x2=4分别代入方程baxx2-x+12=0,得939baa=-1，解得.8416bab=2∴f(x)=xx22(x≠2).(2)原不等式即为xkxkxx2)1(22,可化为xkxkx2)1(20.即（x-2）(x-1)(x-k)0.①当1k2时，1xk或x2;②当k=2时，x1且x≠2;③当k2时，1x2或xk.综上所述，当1k2时，原不等式的解集为｛x|1xk或x2｝;当k=2时，原不等式的解集为｛x|x1且x≠2｝;当k2时，原不等式的解集为｛x|1x2或xk｝.22.（本小题满分14分）(2012·揭阳高二检测)国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元.（1）写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；（2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m=n时，价值损失的百分率最大.8(注：价值损失的百分率＝原有价值原有价值－现有价值×100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计［解析］（1）由题意可设价值与重量的关系式为：y=kx2,∵3克拉的价值是54000美元，∴54000＝k·32,解得：k=6000,∴y=6000x2,答：此钻石的价值与重量的函数关系式为y=6000x2.(2)若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6000(m+n)2,现有价值是6000m2+6000n2,价值损失的百分率＝2222)(600060006000)(6000nmnmnm×100％＝2)(2nmmn×100％≤22)()2(2nmnm=21,当且仅当m=n时取等号.答：当m=n时，价值损失的百分率最大.