2013高考数学(理)热点专题专练1-4导数与积分的概念及运算导数的应用

第1页共9页高考专题训练(四)导数与积分的概念及运算、导数的应用时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在括号里．1．(2012·陕西)设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析因为集合f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，由于ex0，所以x－1，f′(x)0，函数递减，x－1，f′(x)0，函数递增，故应选D.答案D2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)解析f(x)2x＋4，即f(x)－2x－40.构造F(x)＝f(x)－2x－4，F′(x)＝f′(x)－20.F(x)在R上为增函数，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0.x∈(－1，＋∞)，F(x)F(－1)，∴x－1.答案B3．(2012·烟台市高三年级诊断性检测)设a＝0π(sinx＋cosx)dx，第2页共9页则(ax－1x)6的二项展开式中含x2的系数是()A．192B．－192C．96D．－96解析因为a＝0π(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|π0＝(－cosπ＋sinπ)－(－cos0＋sin0)＝2，所以(ax－1x)6＝2x－1x6，则可知其通项Tr＋1＝(－1)rCr626－rx6－r2－r2＝(－1)rCr626－rx3－r，令3－r＝2⇒r＝1，所以展开式中含x2项的系数是(－1)rCr626－r＝(－1)1C1626－1＝－192，故答案选B.答案B4．(2012·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝12x3－x2－72x，则f(－a2)与f(4)的大小关系为()A．f(－a2)≤f(4)B．f(－a2)f(4)C．f(－a2)≥f(4)D．f(－a2)与f(4)的大小关系不确定解析第3页共9页∵f(x)＝12x3－x2－72x，∴f′(x)＝32x2－2x－72.由f′(x)＝12(3x－7)(x＋1)＝0得x＝－1或x＝73.当x－1时，f(x)为增函数；当－1x73时，f(x)为减函数；当x73时，f(x)为增函数，计算可得f(－1)＝f(4)＝2，又－a2≤0，由图象可知f(－a2)≤f(4)．答案A5．(2012·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝x3＋bx2－3x＋1(b∈R)在x＝x1和x＝x2(x1x2)处都取得极值，且x1－x2＝2，则下列说法正确的是()A．f(x)在x＝x1处取极小值，在x＝x2处取极小值B．f(x)在x＝x1处取极小值，在x＝x2处取极大值C．f(x)在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极小值D．f(x)在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极大值解析因为f(x)＝x3＋bx2－3x＋1，所以f′(x)＝3x2＋2bx－3，由题意可知f′(x1)＝0，f′(x2)＝0，即x1，x2为方程3x2＋2bx－3＝0的两根，所以x1－x2＝x1＋x22－4x1x2＝4b2＋363，由x1－x2＝2，得b＝0.从而f(x)＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，由于x1x2，所以x1＝1，x2＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0，所以f(x)在x1＝1处取极小值，极小值为f(1)＝－1，在x2＝－1处取极大值，极大第4页共9页值为f(－1)＝3.答案B6．(2012·合肥市高三第三次教学质量检测)对任意x1，x2∈(0，π2)，x2x1，y1＝1＋sinx1x1，y2＝1＋sinx2x2，则()A．y1＝y2B．y1y2C．y1y2D．y1，y2的大小关系不能确定解析设f(x)＝1＋sinxx，则f′(x)＝xcosx－sinx－1x2＝cosxx－tanx－1x2.当x∈(0，π2)时，x－tanx0，故f′(x)0，所以f(x)在0，π2上是减函数，故由x2x1得y2y1.答案B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2012·广东)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析可得y′＝3x2－1，则k＝y′|x＝1＝2，于是切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案2x－y＋1＝08．(2012·潍坊市高三第一次教学质量检测)若等比数列{an}的首项为23，且a4＝14(1＋2x)dx，则公比等于________．第5页共9页解析14(1＋2x)dx＝(x＋x2)|41＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即a4＝18＝23·q3⇒q＝3.答案39．(2012·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若-11f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.解析因为-11f(x)dx＝-11(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4⇒a＝－1或a＝13.答案－1或1310．(2012·山东省高考调研卷)曲线y＝1x＋2x＋2e2x，直线x＝1，x＝e和x轴所围成的区域的面积是________．解析1e1x＋2x＋2e2xdx＝1e1xdx＋1e2xdx＋1e2e2xdx＝lnx|e1＋x2|e1＋e2x|e1＝e2e.答案e2e三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2012·江苏)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个第6页共9页数．解(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x－2时，g′(x)0；当－2x1时，g′(x)0，故－2是g(x)的极值点．当－2x1或x1时，g′(x)0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.(3)令f(x)＝t，h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]．当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.当|d|2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d0，所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，于是f(x)是单调递增函数，从而f(x)f(2)＝2，此时f(x)＝d无实根．同理f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根．②当x∈(1,2)时，f′(x)0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)－d0，f(2)－d0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(1,2)内有唯一实根．同理f(x)＝d在(－2，－1)内有唯一实根．第7页共9页③当x∈(－1,1)时，f′(x)0，故f(x)是单调递减函数，又f(－1)－d0，f(1)－d0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(－1,1)内有唯一实根．由上可知，当|d|＝2时，f(x)＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2；当|d|2时，f(x)＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|2，i＝3,4,5.现考虑函数y＝h(x)的零点．(i)当|c|＝2时，f(t)＝c有两个根t1，t2满足|t1|＝1，|t2|＝2，而f(x)＝t1有三个不同的根，f(x)＝t2有两个不同的根，故y＝h(x)有5个零点．(ii)当|c|2时，f(t)＝c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|ti|2，i＝3,4,5，而f(x)＝ti(i＝3,4,5)有三个不同的根，故y＝h(x)有9个零点．综上可知，当|c|＝2时，函数y＝h(x)有5个零点；当|c|2时，函数y＝h(x)有9个零点．12．(13分)(2012·新课标)已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．解(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.第8页共9页解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝14a2时，h(x)＝x3＋ax2＋14a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋14a2.令h′(x)＝0，得x1＝－a2，x2＝－a6.a0时，h(x)与h′(x)的情况如下：x－∞，－a2－a2－a2，－a6－a6－a6，＋∞h′(x)＋0－0＋h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为－∞，－a2和－a6，＋∞；单调递减区间为－a2，－a6.当－a2≥－1，即0a≤2时，函数h(x)在区间(∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－14a2.当－a2－1，且－a6≥－1，即2a≤6时，函数h(x)在区间－∞，－a2内单调递增，在区间－a2，－1上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h－a2＝1.当－a6－1，即a6时，第9页共9页函数h(x)在区间－∞，－a2内单调递增，在区间－a2，－a5内单调递减，在区间－a6，－1上单调递增，又因h－a2－h(－1)＝1－a＋14a2＝14(a－2)20，所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h－a2＝1.