2013高考数学年陕西卷(理)

2013陕西卷(理)一、选择题1．设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁RM为()A．[－1,1]B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案D解析由题意得M＝[－1,1]，则∁RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为()A．25B．30C．31D．61答案C解析∵x＝6050，∴y＝25＋0.6×(60－50)＝31.3．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，则有cos〈a，b〉＝±1.即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与b同向或反向，所以〈a，b〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|.4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()A．11B．12C．13D．14答案B解析由84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12(人)．5．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A．1－π4B.π2－1C．2－π2D.π4答案A解析由题意得无信号的区域面积为2×1－2×14π×12＝2－π2，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P＝2－π22＝1－π4.6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假．命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22答案D解析由|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，∴z1＝z2，所以z1＝z2，故A为真命题；由于z1＝z2，则z1＝z2＝z2，故B为真命题；由|z1|＝|z2|，得|z1|2＝|z2|2，则有z1·z1＝z2·z2，故C为真命题，D为假命题．7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案B解析由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝1，由0Aπ，得A＝π2，所以△ABC为直角三角形．8．设函数f(x)＝x－1x6，x0，－x，x≥0，则当x0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A．－20B．20C．－15D．15答案A解析当x0时，f(x)＝－x0，所以f[f(x)]＝f(－x)＝1x－x6，Tr＋1＝Cr6x－12(6－r)·(－x12)r＝(－1)rCr6x－3＋r2＋r2，由r－3＝0，得r＝3.所以f[f(x)]表达式的展开式中常数项为(－1)3C36＝－20.9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15,20]B．[12,25]C．[10,30]D．[20,30]答案C解析如图，△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则S△ADES△ABC＝40－y402＝x402，所以y＝40－x，由题意知xy≥300，即x(40－x)≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解不等式得10≤x≤30.10．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有()A．[－x]＝－[x]B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y]D．[x－y]≤[x]－[y]答案D解析特殊值法．令x＝1.5，∵[－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，故A错；[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2，故B错；令x＝1.5，y＝0.5，[x＋y]＝2，[x]＋[y]＝1＋0＝1，故C错．二、填空题11．双曲线x216－y2m＝1的离心率为54，则m等于________．答案9解析由题意得c＝16＋m，所以16＋m4＝54，解得m＝9.12．某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．答案π3解析由三视图还原几何体为半个圆锥，则其体积为V＝12×13(π×12×2)＝π3.13．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．答案－4解析如图，曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－1,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－1)－2＝－4.14．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为________．答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·nn＋12解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1nn＋12.15．A.(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．答案2解析由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(am·an＋bmbn)2＝mn(a＋b)2＝2.B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.答案6解析由题意知∠BCE＝∠PED＝∠BAP，∴△PDE∽△PEA.∴PEPA＝PDPE，则PE2＝PA·PD，又∵PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3.∴PE＝PA·PD＝6.C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为______________．答案x＝12＋12cos2θ，y＝12sin2θ0≤θπ解析由题意得圆的标准方程为x－122＋y2＝122，设圆与x轴的另一交点为Q，则Q(1,0)，设点P的坐标为(x，y)，则OP＝OQcosθ＝cosθ.∴x＝OPcosθ＝cos2θ＝12＋12cos2θ，y＝OPsinθ＝cosθ·sinθ＝12sin2θ0≤θπ.三、解答题16．已知向量a＝cosx，－12，b＝(3sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在0，π2上的最大值和最小值．解(1)∵f(x)＝a·b＝3sinxcosx－12cos2x＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6.∴f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)∵x∈0，π2，∴2x－π6∈－π6，5π6，∴sin2x－π6∈－12，1，故当2x－π6＝π2即x＝π3时，f(x)max＝1；当2x－π6＝－π6即x＝0时，f(x)min＝－12.17．设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．(1)解设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a11－qn1－q，∴Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.(2)证明假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．18．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝2.(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．(1)证明方法一由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图．∵AB＝AA1＝2，∴OA＝OB＝OA1＝1，∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．由A1B1→＝AB→，易得B1(－1,1,1)．∵A1C→＝(－1,0，－1)，BD→＝(0，－2,0)，BB1→＝(－1,0,1)．∴A1C→·BD→＝0，A1C→·BB1→＝0，∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，A1C⊄平面BB1D1D，∴A1C⊥平面BB1D1D.方法二∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.又∵OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝2，且AC＝2，∴AC2＝AA21＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D.(2)解设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)．∵OC→＝(－1,0,0)，OB1→＝(－1,1,1)，∴n·OC→＝－x＝0，n·OB1→＝－x＋y＋z＝0，∴x＝0，y＝－z，取n＝(0,1，－1)，由(1)知，A1C→＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量，∴cosθ＝|cos〈n，A1C→〉|＝12×2＝12.又∵0≤θ≤π2，∴θ＝π3.19．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．解(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝C12C23＝23，P(B)＝C24C35＝35.∵事件A与B相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝23×25＝415，(或P(AB)＝C12·C34C23·C35＝415)．(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝C24C35＝35，∵X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝P(ABC)＝13×25×25＝475，P(X＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×25×25＋13×35×25＋13×