2013级研究生随机过程期末考试试题

2013级研究生第一学期考试试题(共2页第1页)考试科目：随机过程及应用任课教师：吴秋新考试日期：2013年11月19日一、设随机过程ttBAtX,2cos6)(sin)(,其中随机变量A的分布为：21)0(AP，21)2(AP，随机变量B的分布为：21)1(BP，21)1(BP，且A与B独立，试求：（1）一维分布函数);0(xF和);8(xF；（2）二维分布函数),;6,0(21xxF；（3）均值函数)(tmX，协方差函数)6,0(XCov。(注：要求先写出概率分布表，再写分布函数)（12分）二、设随机过程)cos()cos()cos()(ttttX，其中为常数，,,相互独立且服从正态分布),0(2N，,,相互独立且服从（0，π）上均匀分布，且,,与,,相互独立，求X(t)的均值函数和自相关函数，并判断是否为平稳过程。（12分）三、设在时间区间[0,t]内到达商场的顾客数N(t)是强度为λ的泊松过程，每个顾客购买货物概率为p，不购买货物概率为1-p，0p1，且他们是否购买货物是相互独立的，令Y(t)为[0，t]内购买货物的顾客数，kZ为[0，t]内第k个购买货物的顾客的购买金额数，k=1,2,…，它们独立同分布，数学期望为a元。(1)试证{Y(t)，t≥0}是一个以λp为强度的泊松过程；(2)求第三个时间单位里有两个顾客购买货物的概率；(3)写出该商场[0,t]内的收入总金额表达式和其数学期望。（12分）四、设齐次马尔可夫链状态空间为E={1,2,3}，一步转移概率矩阵为：0525331032414121P，另外已知初始分布为：525251)0(P(12分)试求：（1）两步转移概率矩阵)2(P，绝对分布)2(P；(2)证明该链是遍历链；(3)求该链的平稳分布；(4)画出状态转移图，并分析状态2的分类属性。五、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个质点之一，则在[t，t+h]内，它以概率)(52hoh分别转移到其它二点之一。试求：(1)质点随机游动的速度矩阵Q和柯尔莫哥洛夫后退方程；(2)求该过程转移概率)(tpij，3,2,1,ji；(3)求平稳分布。（12分）2013级研究生第一学期考试试题(共2页第2页)考试科目：随机过程及应用任课教师：吴秋新考试日期：2013年11月19日六、设有随机过程X(t)=Asin(λt)+Bcos(λt)，其中A、B是均值为0，方差为2的相互独立的正态随机变量。试问：X(t)的均值是否各态历经的？(8分)七、（1）设平稳过程X(t)的相关函数RX(τ)=)5cos(3)2cos(2||3e，求X(t)的谱密度；（共12分）（2）设平稳过程X(t)的谱密度为)9)(4(16)(222Xs，求相关函数RX(τ)。八、设一个线性系统输入平稳过程X(t)，其相关函数为RX(τ)=5||3e，若输入、输出过程的样本函数满足微分方程：)()(4)()(3tXdttdXtYdttdY，试求：(1)线性系统的频率响应函数；(2)输出过程Y(t)的谱密度)(Ys和相关函数RY(τ)；(3)输入过程X(t)与输出过程Y(t)的互谱密度)(XYs。（13分）九、写出AR(2)模型120.10.4nnnnXXXa的自相关函数，其中na是均值为0、方差为2的白噪声序列。（7分）