71正切

江苏科技出版社·初中数学资源建设·教案体例7．1正切（1）【课标要求】1．认识正切与余切2．在具体的情景中从数学的角度发现问题和提出问题【教学目标】1．认识锐角的正切的概念；2．经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；3．激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．【教学重点】计算一个锐角的正切值的方法．【教学过程】一、创设情境问题1：人们在行走的过程中，自行车、汽车在行驶的过程中免不了爬坡．如图1，哪个台阶更陡？【设计意图】较好地发挥了“情景导入”的作用，让学生初步体会倾斜的程度可以靠倾斜的角度来判断和辨别，初步感受倾斜的角度越大，台阶就越陡．问题2：如图2，哪个台阶最陡？你是如何判断的？图184①86②图2612③江苏科技出版社·初中数学资源建设·教案体例【设计意图】由角度逐步转化为边之间的比较，来实现向新知识的自然过渡．问题3：如图3，在图2中的①、③两个台阶，你认为哪个台阶更陡？你有什么发现？【设计意图】始终围绕台阶的倾斜程度展开，问题环环相扣，把新知识的特点不知不觉、一步一步地呈现出来，正所谓“生其自然、成其必然”．二、探究与操作问题4：如图4，一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、Rt△AB3C3……那么，你有什么发现呢？[设计意图]经过前三个问题的探究，学生似乎体会到斜坡倾斜的程度与边角之间的关系，让学生对所感悟的知识碎片进行整理，并结合图形进行准确地符号表达．通过数形结合的思维训练来探索数学规律，学习数学概念，有利于提高教学的有效性．三、思考与归纳如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即tanA＝的邻边的对边AA＝ACBC＝ba．你能用同样的方法写出∠B的正切吗？[设计意图]类似地，让学生类比出∠B的正切的表示方法．趁热打铁，让学生表示出∠B的正切，有利于学生深入认识正切的定义，初步实现教学目标．C3B3C2B2C1B1A图4A邻边bC对边aB图5江苏科技出版社·初中数学资源建设·教案体例四、数学运用例1如图7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，求tanA、tanB．拓展：通过计算tanA、tanB的值，你有什么新的发现吗？[设计意图]师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力，会进行简单的说理．在拓展环节，尽量让学生表达，或是在互相交流的基础上发表自己的看法，这样有利于学生对知识的进一步理解．例2如图8，在等边三角形ABC中，AB＝2，求tanA．拓展：通过计算tanA的值，你对60º的正切值有什么认识？30º呢？你还能得到其他的吗？[设计意图]主要是针对角不在直角三角形中如何处理，要让学生明白寻找对边或邻边时要在该角所在的直角三角形中实现，从而引导学生去创造直角三角形培养学生分析问题的能力．适时的问题拓展，开放性的问题设计，既综合整理、当堂复习了新课知识要点，又留给了学生自由发挥的空间．五、小结思考通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．[设计意图]师生互动，总结学习成果，体验成功．六、拓展与提升你能判断下面两个楼梯哪一个更陡吗？图7A4CB5图82DCBA53①75②江苏科技出版社·初中数学资源建设·教案体例[设计意图]选做题解法较多，但又不规定必须用几种方法，学生可根据自己的能力去自主选做．这样就能实现“课程标准”中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”．课内阅读《大衍历》的九服晷影算法及其正切函数表我国古代历法从东汉《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．隋朝刘焯发明二次等间距插值法之后，李淳风首先将二次插值法引入到漏刻计算中，由每气初日的漏刻、晷影长度数求该气各日的漏刻、晷影数．但是，各历法中所记载和计算的漏刻和晷影大多是阳城（今河南登封东南告成镇）的数值．一行在编制《大衍历》时，曾进行了大规模的天文测量，通过观测知道，随去极度变化的影长，又因地方而异，但同太阳的天顶距有固定的对应关系．一行在《大衍历》中发明了求任何地方每日影长和去极度的计算方法，叫做“九服晷影”．古人把阳城作为测影的标准地点，即所谓的地中．若NP为阳城的北极高度，S1、S2、S3……为阳城夏至、小暑、大暑等日的太阳上中天位置，则PS1、PS2、PS3……为阳城夏至、小暑、大暑……诸气太阳的去极度，取a1＝PS2－PS1、a2＝PS3－PS2……，则a1、a2分别为阳城夏至到小暑、小暑到大暑的去极度差数，也是太阳天顶距的差数．且这个差数对任何地点的相应季节都是相等的．设有某地北极高度为NP′，则夏至、小暑、大暑等日的太阳上中天位置为S′1、S′2、S′3……．显然，有a1＝PS′2－PS′1，a2＝PS′3－PS′2．阳城夏至、小暑、大暑太阳天顶距为ZS1、ZS2、ZS3等，故a1＝ZS2－ZS1，a2＝ZS3－ZS2，同样，有a1＝ZS′2－ZS′2，a2＝ZS′3－ZS′2．历法中已给出阳城各气初日的太阳去极度，则各气的去极度差即为已知，同样各气的太阳天顶距差亦为已知，而这个差数对于任一地点都是相等的．这样一来，对于任一地方，只要知道某一节气（如夏至）的太阳天顶距，其他各气的太阳天顶距都可以通过加减这个差数求出．剩下还要解决以下两个问题：其一，如何求某地夏至（或冬至）的太阳天顶距；其二，已知天顶距如何换算出晷影长．这两个问题都可以通过建立一个影长与太阳天顶距的对应数表来解决．如果列出一张以天顶距为引数，每隔一度的影长的数值表，则以上两个问题都可以解决：先在所测地测出（冬）夏至晷影长度（在一行领导的大地测量中，在每处都进行了这样的测量），由影长查表得出太阳天顶距，再加减一个如前所述的差数ai即可求出该地各气的天顶距，返回再查表得影长．一行在《大衍历》“步晷漏术”中就建立了这样一个从0度到80度的每度影长与太阳天顶距对应数表，这是世界数学史上最早的一张正切函数表．在国外，大约920年左右，阿拉伯学者阿尔·巴坦尼（al-Battani，约858—929）根据影长与太阳仰角之间的关系，编制了0度-90度每隔一度时12尺竿子的影长表，这实际上是一个12ctga的数表．另一位阿拉伯学者阿尔·威发（Abul-Waha，940-998）在980年左右编成了正切和余切函数表，每隔15度和10度给出一个值．他还首次引进了正割和余割函数．一行和阿尔·巴坦尼差不江苏科技出版社·初中数学资源建设·教案体例多沿着相同的途径编成正切和余切函数表．一行用太阳天顶距，阿尔·巴坦尼用太阳仰角，两者互为余角，所以他们两人的发现是相同的．而一行的正切函数表比阿尔·巴坦尼的余切函数表早近两百年，比阿尔·威发的正切表要早二百五十年．尽管一行的正切函数表只从0度到80度，误差也相应大一些，但它毕竟是世界上最早的正切函数表．[设计意图]通过对相关数学故事的阅读，了解我国深刻广博的历史文化，增强民族荣誉感．