2014-2015学年安徽省亳州市涡阳四中高二(下)第一次质检数学试卷(理科)

2014-2015学年安徽省亳州市涡阳四中高二（下）第一次质检数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．曲线y=x2在点（1，1）处的切线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0B．x﹣2y+1=0C．2x+y﹣3=0D．x+2y﹣3=02．用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个大于或等于60°”时，假设正确的是（）A．假设至多有一个内角大于或等于60°B．假设至多有两个内角大于或等于60°C．假设没有一内角大于或等于60°D．假设没有一个内角或至少有两个内角大于或等于60°3．观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n（n∈N*）个等式应为（）A．9（n+1）+n=10n+9B．9（n﹣1）+n=10n﹣9C．9n+（n﹣1）=10n﹣1D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣104．已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．b＞c＞a5．曲线y=cosx（0≤x≤）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）A．4B．2C．D．36．已知数列{an}满足a1=2，a2=3，an+2=|an+1﹣an|，则a2015=（）A．1B．2C．3D．07．函数f（x）=xlnx的大致图象为（）A．B．C．D．8．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）A．eB．﹣eC．D．﹣9．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确10．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）≥2f（1）D．f（0）+f（2）＞2f（1）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．如图是导函数y﹣f′（x）的图象，那么函数的极大值点为．12．dx=．13．已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在[﹣3，3]上有最小值3，那么在[﹣3，3]上f（x）的最大值是．14．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值．15．已知函数f（x）=aex+blnx（a，b为常实数）的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意的正数a，存在正数b，使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0．②当a＞0，b＜0时，函数f（x）存在最小值；③若ab＜0时，则f（x）一定存在极值点；④若ab≠0时，方程f（x）=f′（x）在区间（1，2）内有唯一解；其中正确命题的序号是．三、解答题：（本大题共6小题，共75分）16．（12分）（2012秋•定西期末）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值，求a，b的值与函数f（x）的单调区间．17．（12分）（2015春•亳州校级月考）求图中所示阴影部分的面积．18．（12分）（2007春•徐州期末）△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：．19．（12分）（2014春•滦南县期末）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？20．（13分）（2015•赫章县校级模拟）设数列{an}满足：an+1=an2﹣nan+1，n=1，2，3，…（1）当a1=2时，求a2，a3，a4并由此猜测an的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所的n≥1，有①an≥n+2②．21．（14分）（2014•淮南二模）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=ex﹣x+1．（a为常数，e为自然对数的底）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求a的最小值；（3）若对任意给定的x0∈（0，1]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．2014-2015学年安徽省亳州市涡阳四中高二（下）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．曲线y=x2在点（1，1）处的切线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0B．x﹣2y+1=0C．2x+y﹣3=0D．x+2y﹣3=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．解答：解：y′=2x当x=1得f′（1）=2所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1）即2x﹣y﹣1=0故选A．点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率．属于基础题．2．用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个大于或等于60°”时，假设正确的是（）A．假设至多有一个内角大于或等于60°B．假设至多有两个内角大于或等于60°C．假设没有一内角大于或等于60°D．假设没有一个内角或至少有两个内角大于或等于60°考点：反证法与放缩法．专题：证明题；推理和证明．分析：熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可．解答：解：∵三角形中至少有一个内角大于等于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设没有一内角大于或等于60°．故选：C．点评：此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3．观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n（n∈N*）个等式应为（）A．9（n+1）+n=10n+9B．9（n﹣1）+n=10n﹣9C．9n+（n﹣1）=10n﹣1D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣10考点：归纳推理．专题：探究型．分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及各个部分与式子编号之间的关系，易得等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，归纳后即可推断出第n（n∈N*）个等式．解答：解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式为：9（n﹣1）+n=10n﹣9故选B．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．4．已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．b＞c＞a考点：不等式的实际应用；不等式比较大小．专题：转化思想．分析：根据，则比较a，b，c的大小关系即可转化为比较2，2，2×4的大小关系即可．解答：解：，∵∴∴∴a2＜b2＜c2∴a＜b＜c．故选C．点评：此题主要考查了无理数的估算能力，两个正的二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大．5．曲线y=cosx（0≤x≤）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）A．4B．2C．D．3考点：余弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据所围成图形用定积分可求得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积，然后根据定积分的定义求出所求即可．解答：解：由定积分定义及余弦函数的对称性，可得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积为：S=3∫cosxdx=3sinx|=3sin﹣3sin0=3，所以围成的封闭图形的面积是3．故选：D．点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，考查运算求解能力，化归与转化思想思想，属于基本知识的应用．6．已知数列{an}满足a1=2，a2=3，an+2=|an+1﹣an|，则a2015=（）A．1B．2C．3D．0考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过计算出前几项，得出规律，进而可得结论．解答：解：由题意，a3=|a2﹣a1|=|3﹣2|=1，a4=|a3﹣a2|=|1﹣3|=2，a5=|a4﹣a3|=|2﹣1|=1，a6=|a5﹣a4|=|1﹣2|=1，a7=|a6﹣a5|=|1﹣1|=0，a8=|a7﹣a6|=|0﹣1|=1，…∴当n≥6且n为偶数时an=1，当n≥6且n为奇数时an=0，∴a2015=0，故选：D．点评：本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．7．函数f（x）=xlnx的大致图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：作图题．分析：由已知函数f（x）=xlnx的解析式，我们可以分析出函数的零点个数及在区间（0，1）上的图象位置，利用排除法可得到答案．解答：解：∵函数f（x）=xlnx只有1一个零点∴可以排除CD答案又∵当x∈（0，1）时lnx＜0，∴f（x）=xlnx＜0，其图象在x轴下方∴可以排除B答案故选A点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中根据函数的解析式分析出函数的性质，是解答此类问题的关键．8．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）A．eB．﹣eC．D．﹣考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：∵y=lnx，∴y'=，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴k=．故选C．点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．9．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．解答：解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．10．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）≥2f（1）D．f（0）+f（2）＞2f（1）考点：导数的运算．专题：分类讨论．分析：分x≥1和x＜1两种情况对（x﹣1）f′（x）≥0进行讨论，由极值的定义可得当x=1时f（x）取得极小值也为最小值，故问题得证．解答：解：依题意，当x≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；当x＜1时，f′（x）≤0，f（x）在