2014-2015学年点拨高中数学必修5(北师大版)过关测试卷第二章达标测试卷

第二章达标测试卷（100分，45分钟）一、选择题(每题6分，共36分）1.在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程2x－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为()A．2B．3C．4D．52.〈泰安一轮质量检测〉在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为23,则BC的长为（）A．3B．3C．7D．73.〈淄博二模〉已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2－c2,则tanC等于（）A.43B.34C.－34D.－434.△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则角A的对边长为()A．5B．6C．7D．85．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为23，那么b等于()A.231B．1＋3C.232D．2＋36.〈滁州调研〉线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则多少小时后，两车的距离最小()A.4369B．1C.4370D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）7.如图1，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30米至C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103米至D处，测得顶端A的仰角为4θ，则θ的值为．图18.在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是．9.若在△ABC中，AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值是．10.在正三角形ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，则AD∶AB＝.三、解答题（11题12分，其余每题16分，共44分）11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin2C.(1)求sinC的值；(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求c．12.在△ABC中，tanA＝41，tanB＝53.(1)求角C的大小；(2)若△ABC最大边的长为17，求最小边的长．13.〈湖北理〉在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sinBsinC的值．参考答案及点拨一、1.C点拨：由A＝60°，不妨设△ABC中最大边和最小边分别为b，c，故b＋c＝7，bc＝11.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16，∴a＝4.2.A点拨：因为21×AB·ACsin60°=21×2×23AC=23，所以AC=1.所以BC2=AB2+AC2－2AB·ACcos60°=3.所以BC=3.3.C点拨：由2S=(a+b)2－c2,得2S=a2+b2+2ab－c2,即2×21absinC=a2+b2+2ab－c2,所以absinC－2ab=a2+b2－c2.又cosC=abcba2222=ababCab22sin=2sinC－1，所以cosC+1=2sinC.即2cos22C=sin2Ccos2C,所以tan2C=2.则tanC=2tan12tan22CC=22122=－34.4.C点拨：∵a＋b＋c＝20,∴b＋c＝20－a.即b2＋c2＋2bc＝400－40a＋a2,∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc①.又cosA＝bcacb2222＝21,∴b2＋c2－a2＝bc②.又S＝21bc·sinA＝103,∴bc＝40③.由①,②,③可知a＝7.5.B点拨：由2b＝a＋c，得a2＋c2＝4b2－2ac.又S△ABC＝23且B＝30°，∴S△ABC＝21acsinB＝21acsin30°＝4ac＝23，得ac＝6.∴a2＋c2＝4b2－12.由余弦定理得cosB＝acbca2222＝442b＝23，又b0，解得b＝1＋3.6.C点拨：如答图1，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t．由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.当t＝4370时，DE最小.答图1二、7.15°点拨:由条件知在△ADC中，∠ACD＝2θ，∠ADC＝180°－4θ，AC＝BC＝30，AD＝CD＝103.则由正弦定理得2sinAD＝)4180sin(AC，∴2sin310＝4sin30.∴cos2θ＝23.∵2θ为锐角，∴2θ＝30°.∴θ＝15°.8.(1，2］点拨:x＝cba＝CBAsinsinsin＝sinA＋cosA＝2sin4πA.又A∈20π，，∴4πA＋4π43π.∴22sin4πA≤1.即x∈(1，2］．9.22点拨:设BC＝x，则AC＝2x，根据面积公式得S△ABC＝21AB·BCsinB＝21×2xB2cos1，①根据余弦定理得cosB＝BCABACBCAB2222＝xxx4)2(422＝xx442，将其代入①式得S△ABC＝22441xxx＝16)12(12822x，由三角形三边关系有,2222xxxx＞，＞解得22－2x22＋2，故当x＝23时，S△ABC取得最大值22.10.23－3点拨:按题意，设折叠后A点落在边BC上的P点处，显然A,P两点关于折线DE对称，连接AP,DP,设∠BAP＝θ，∴∠DPA＝θ，∠BDP＝2θ.再设AB＝a，AD＝x，则DP＝x.在△ABC中，∠APB＝180°－∠ABP－∠BAP＝120°－θ，由正弦定理知：APBABBAPBPsinsin,∴BP＝)120sin(sina.在△PBD中，DBPDPsin＝BDPBPsin，∴BP＝60sin2sinx.从而)120sin(sina＝60sin2sinx，∴x＝)120sin(2sin60sinsina＝3)260sin(23a.∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60＋2θ≤180°.∴当60°＋2θ＝90°，即θ＝15°时，sin(60°＋2θ)＝1，此时x取得最小值323a＝(23－3)a，即AD最小，∴AD∶DB＝23－3.三、11.解：(1)由已知得sinC＋sin2C＝1－cosC，∴sin2C2cos12C＝2sin22C.由sin2C≠0，得2cos2C＋1＝2sin2C，∴sin2C－cos2C＝21.两边平方，得1－sinC＝41，∴sinC＝43.(2)由sin2C－cos2C＝21＞0，得4π＜2C＜2π，即2π＜C＜π，则由sinC＝43得cosC＝－47.由a2＋b2＝4(a＋b)－8得(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋27，所以c＝7＋1.12.解：(1)∵C＝π－(A＋B)，∴tanC＝－tan(A＋B)＝534115341＝－1.又∵0Cπ，∴C＝43π.(2)∵C＝43π，∴AB边最大，即AB＝17.又∵tanAtanB，A，B∈20π，，∴角A最小，BC边为最小边．由1cossin,41cossintan22AAAAA且A20π，，得sinA=1717.由ABCCABsinsin得，BC=2sinsinCAAB.所以最小边的长为2.13.解:(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝21或cosA＝－2(舍去)．因为0Aπ，所以A＝3π.(2)由S＝21bcsinA＝21bc23＝43bc＝53，得bc＝20.又b＝5，则c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝21.又由正弦定理得sinBsinC＝absinAacsinA＝2abcsin2A＝2120×43＝75.