2014-2015高考理科数学《椭圆》练习题

-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----2014-2015高考理科数学《椭圆》练习题[A组基础演练·能力提升]一、选择题1．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是()A.x216＋y27＝1B.x216＋y27＝1或x27＋y216＝1C.x216＋y225＝1D.x216＋y225＝1或x225＋y216＝1解析：依题意知，2a＝8，e＝ca＝34，∴a＝4，c＝3，b2＝a2－c2＝16－9＝7.又焦点位置不确定，故椭圆的标准方程为x216＋y27＝1或x27＋y216＝1.答案：B2．椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝()A.72B.32C.3D．4解析：a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝3，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－3，0)，设P(－3，m)(m0)，则－324＋m2＝1，解得m＝12，所以|PF1|＝12，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－12＝72.答案：A3．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为()A．23B．26C．42D．43解析：依题意得|AC|＝5，所以椭圆的焦距为2c＝|AB|＝4，长轴长2a＝|AC|＋|BC|＝8，所以短-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----轴长为2b＝2a2－c2＝216－4＝43.答案：D4．已知P为椭圆x225＋y216＝1上的一个点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．7C．13D．15解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2，分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.答案：B5．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈12，1，则实数m的取值范围是()A.0，34B.43，＋∞C.0，34∪43，＋∞D.34，1∪1，43解析：椭圆标准方程为x2＋y21m＝1.当m1时，e2＝1－1m∈14，1，解得m43；当0m1时，e2＝1m－11m＝1－m∈14，1，解得0m34，故实数m的取值范围是0，34∪43，＋∞.答案：C6．直线y＝x与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为()A.－1＋52B.1＋52-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----C.3－52D.12解析：设直线y＝x与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1，在第一象限的交点为A，依题意有，点A的坐标为(c，c)，又点A在椭圆C上，故有c2a2＋c2b2＝1，因为b2＝a2－c2，所以c2a2＋c2a2－c2＝1，所以c4－3a2c2＋a4＝0，即e4－3e2＋1＝0，解得e2＝3±52，又C是椭圆，所以0e1，所以e＝5－12.答案：A二、填空题7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．解析：由△ABF2的周长＝4a＝16，得a＝4，又知离心率为22，即ca＝22，得c＝22，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，∴C的方程为x216＋y28＝1.答案：x216＋y28＝18．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________．解析：如图，设切点为M，由条件知，OM⊥PF1且OM＝b.∵M为PF1的中点，∴PF2＝2b，且PF1⊥PF2，从而PF1＝2a－2b.∴PF21＋PF22＝F1F22，即(2a－2b)2＋(2b)2＝(2c)2，整理得3b＝2a，∴5a2＝9c2，解得e＝ca＝53.-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----答案：539．已知点A(0,2)及椭圆x24＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值为________．解析：设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，∴|PA|2＝x20＋(y0－2)2.∵x204＋y20＝1，∴|PA|2＝4(1－y20)＋(y0－2)2＝－3y20－4y0＋8＝－3y0＋232＋283.∵－1≤y0≤1，而－1－231，∴当y0＝－23时，|PA|2max＝283，即|PA|max＝2213.答案：2213三、解答题10．设F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2.当a＝2b时，求椭圆方程．解析：∵a＝2b，a2＝b2＋c2，∴c2＝3b2，又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2，由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，从而得b2＝1，a2＝4，∴椭圆方程为x24＋y2＝1.11.(2013年高考浙江卷)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点，C1的长轴-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．解析：(1)由题意得a＝2，b＝1.所以椭圆C1的方程为x24＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝1k2＋1，所以|AB|＝24－d2＝24k2＋3k2＋1.又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由x＋ky＋k＝0，x2＋4y2＝4，消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－8k4＋k2.所以|PD|＝8k2＋14＋k2.设△ABD的面积为S，则S＝12|AB|·|PD|＝84k2＋34＋k2，所以S＝324k2＋3＋134k2＋3-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----≤3224k2＋3·134k2＋3＝161313，当且仅当k＝±102时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±102x－1.12．(能力提升)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2F1F2→＋F2Q→＝0.(1)求椭圆C的离心率；(2)若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线x－3y－3＝0相切，求椭圆C的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，点P(4,0)，求△PMN面积的最大值．解析：(1)设Q(x0,0)．∵F2(c,0)，A(0，b)，则F2A→＝(－c，b)，AQ→＝(x0，－b)，又F2A→⊥AQ→，∴－cx0－b2＝0，故x0＝－b2c，又2F1F2→＋F2Q→＝0，∴F1为F2Q的中点，故－2c＝－b2c＋c，即b2＝3c2＝a2－c2，∴e＝ca＝12.(2)∵e＝ca＝12，∴a＝2c，b＝3c，则F2(c,0)，Q(－3c,0)，A(0，3c)．∴△AQF2的外接圆圆心为(－c,0)，半径r＝12|F2Q|＝2c＝a.∴|－c－3|2＝2c，解得c＝1，∴a＝2，b＝3，-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----椭圆方程为x24＋y23＝1.(3)设直线MN的方程为：x＝my＋1，代入x24＋y23＝1得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝43·3m2＋33m2＋4.∴S△PMN＝12|PF2|·|y1－y2|＝63·3m2＋33m2＋4，令3m2＋3＝λ≥3，∴S△PMN＝63λλ2＋1＝63λ＋1λ≤633＋13＝92，∴△PMN面积的最大值为92，此时m＝0.[B组因材施教·备选练习]1．(2013年高考四川卷)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.24B.12C.22D.32解析：左焦点为F1(－c,0)，PF1⊥x轴，-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----当x＝－c时，c2a2＋y2Pb2＝1⇒y2P＝b21－c2a2＝b4a2⇒yP＝b2a(负值不合题意，已舍去)，点P－c，b2a，由斜率公式得kAB＝－ba，kOP＝－b2ac.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP⇒－ba＝－b2ac⇒b＝c.∵a2＝b2＋c2＝2c2，∴c2a2＝12⇒e＝ca＝22.答案：C2．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1→·PF2→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是()A.33，1B.13，12C.33，22D.0，22解析：设P(m，n)，PF1→·PF2→＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，∴m2＋n2＝2c2,2c2－m2＝n2①，把P(m，n)代入椭圆x2a2＋y2b2＝1得b2m2＋a2n2＝a2b2②，把①代入②得m2＝a2b2－2a2c2b2－a2≥0，∴a2b2≤2a2c2，∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝ca≥33.又m2＝a2b2－2a2c2b2－a2≤a2，∴a2≥2c2，∴e＝ca≤22.综上知此椭圆离心率的取值范围是33，22.故选C.答案：C