第9章GARCH模型族

第9章GARCH模型族张晓峒（2012-9）南开大学数量经济研究所所长、博士生导师中国数量经济学会副理事长[e-mail]第9章GARCH模型族file:JPYENfile:5garch-019.1问题的提出9.2ARCH模型9.3GARCH模型9.4IGARCH(1,1)模型9.5TGARCH模型9.6ABSGARCH/ARCH模型9.7EGARCH模型9.8GARCH-M，ABSGARCH-M和EGARCH-M模型9.9PowerARCH/GARCH（PARCH，PGARCH）模型9.10GARCH模型的非对称性9.11案例分析经典的回归模型研究的都是被解释变量的期望与解释变量呈何种关系。而GARCH模型族研究的是被解释变量的方差如何变化。ARCH模型族在分析金融时间序列中有着广泛的应用。9.1问题的提出以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。例如，1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图9.1和图9.2。图9.1日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000)图9.2日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)80100120140160200400600800100012001400JPY(1995-2000)-8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY)(1995-2000)这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率密度值比正态分布的大，而其余区域的概率密度比正态分布小。图3.5给出高峰厚尾分布示意图。图3.6给出一个高峰厚尾分布实例。显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通过预测xt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测xt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。高峰厚尾分布曲线正态分布曲线04080120160200-4-20246Series:NDZSample1661Observations660Mean-5.52e-17Median0.028869Maximum5.536131Minimum-5.381694Std.Dev.1.000758Skewness-0.070908Kurtosis7.204775Jarque-Bera486.7568Probability0.000000020406080100120140-3-2-10123Series:YSample11000Observations1000Mean-0.033492Median-0.038936Maximum3.149388Minimum-3.113887Std.Dev.0.985880Skewness-0.064711Kurtosis3.081287Jarque-Bera0.973233Probability0.6147030100200300400500-30-20-100102030Series:Y^3Sample11000Observations1000Mean-0.159514Median-5.91e-05Maximum31.23765Minimum-30.19316Std.Dev.3.782465Skewness-1.174093Kurtosis26.53970Jarque-Bera23317.98Probability0.0000000102030405060-30-20-100102030Series:SER03Sample11000Observations268Mean-0.547443Median-1.334963Maximum31.23765Minimum-30.19316Std.Dev.7.269539Skewness-0.459664Kurtosis7.182500Jarque-Bera204.7796Probability0.000000生成正态分布的YX=Y3。若Y是正态分布的，X就是高峰厚尾分布的。去掉X高峰区的732个观测值，峰度值依然很大。注意：“分布峰值越高，峰度值就越大”这种说法是错误的。正确的说法是“分布的尾部越厚，峰度值越大”。9.2ARCH模型9.2.1ARCH模型的定义若一个平稳随机变量xt可以表示为AR(p)形式，其随机误差项的方差可用误差项平方的q阶分布滞后模型描述，xt=0+1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut(9.2)ut=thvt其中vtIID(0,1)，vt与xt相互独立，vt与ut相互独立，ht=0+1ut-12+2ut-22+…+qut-q2(9.3)E(ht)=E(ut2)=t2则称ut服从q阶的ARCH过程，记作utARCH(q)。其中(9.2)式称作均值方程，(9.3)式称作ARCH方程。为保证均值方程平稳性，特征方程1-1L-2L2-…-pLp=0(9.4)的根应在单位圆之外。xt的条件期望是E(xtxt-1,…,xt-p)=0+1xt-1+2xt-2+…+pxt-pxt的无条件期望（T时）是E(xt)=p101对于ARCH方程，由于ut2的非负性，对i应有如下约束，00,i0,i=1,2,…q(9.5)当全部i=0,i=1,2,…,q时，条件方差t2=0（退化为同方差性质）。因为方差是非负的，所以要求00。为保证ARCH方程是一个平稳过程，其特征方程1-1L-2L2-…-qLq=0(9.6)的根都应在单位圆之外。对i,i=1,2,…,q的另一个约束是01+2+…+q1(9.7)对ARCH方程求期望，t2=0+1E(ut-12)+2E(ut-22)+…+qE(ut-q2)=0+1t-12+2t-22+…+qt-q2当T时，2=0+12+22+…+q2则无条件方差2=qii1110(9.8)可见若保证t2是一个平稳过程，应该有约束0(1+2+…+q)1。因为Var(xt)=Var(ut)=t2，所以上式可以用来预测xt的方差。9.2.2ARCH模型的极大似然估计yt=xt'+ut(9.9)其中=(01,…,k-1)',xt=(1x1,…,xk-1)'（xt的分量也可以包括yt的滞后变量），utARCH(q)。为计算方便，假定已知yt,xt的T+q组观测值，从而保证估计参数所用的样本容量为T。utARCH(q)可以表示为（按Engle（1982）定义）ut=thvt其中vtIID(0,1)，vt与xt相互独立，vt与ut相互独立，ht=0+1ut-12+2ut-22+…+qut-q2，所以有t2=Et-1(ut2)=ht，E(ut)=0。yt服从正态分布，概率密度函数为f(ytxt,i,)=th21exp(-ttthy2)'(2x)(9.10)其中ht=0+1(yt-1-xt-1')2+2(yt-2-xt-2')2+…+q(yt-q-xt-q')2用参数和=(012…q)'组成参数向量=。模型(9.9)的对数似然函数是logL()=Tt1logf(ytxt,)=-2Tlog(2)-Tt1log21(ht)-Ttttthy12)'(21x(9.11)求的极大似然估计量就是求ˆ使logL()在=ˆ处获得极大值。9.2.3ARCH模型检验在均值方程（回归模型或时间序列模型）的误差项中是否存在自回归条件异方差应该进行假设检验。检验ARCH可以使用F、LM、LR、W统计量（见第5章）。下面介绍LM、F检验和模型残差平方的Q检验。方法1：ARCH的LM检验。（Engle（1982）提出）①建立原假设H0：1=2=…=q=0（不存在ARCH）H1：1,2,…,q不全为零在原假设成立条件下，OLS估计量是一致的、有效的；在备择假设成立条件下，OLS估计量是一致的，但不是有效的。先介绍使用LM统计量检验H0。因为计算LM统计量的值，只需估计原假设成立条件下的方程。具体步骤是②估计yt=xt'+ut，求tuˆ，计算tuˆ2。（相当于从约束模型tuˆ2=vt中提取tuˆ2）③估计辅助回归式tuˆ2=0+121ˆtu+2tuˆ-22+…+qtuˆ-q2+vt④用第3步得到的可决系数R2构成统计量LM=TR2。其中T表示辅助回归式的样本容量。在原假设成立条件下有LM=TR22(q)若LM2(q)，接受H0。若LM2(q)，接受H1。注意：辅助回归式中要有常数项0。9.2.4检验ARCH效应的EViews操作。案例：日元兑美元汇率的建模研究（file:JPYEN）1995.1-2000.8日元兑美元汇率值（1427个）序列（JPY）见图9.1。极小值为81.12日元，极大值为147.14日元。其均值为112.93日元，标准差是13.3日元。1995年4月曾一度达到81.12日元兑1美元。那是因为美日贸易摩擦愈演愈烈，为了逼迫日本打开国内市场，美国有意迫使日元升值。随着日本政府的有限妥协，以及泡沫经济的彻底显现，多个金融证券公司接连破产，从而使日元兑美元汇率值开始一路走低，1998年8月达到147.14日元兑1美元。JPY显然是一个非平稳序列。80100120140160200400600800100012001400JPY(1995-2000)-8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY)(1995-2000)Dyt=0.0541Dyt-2-0.0859Dyt-3(2.0)(-3.3)R2=0.01,Q(10)=7.0,Q(k-p-q)=Q0.05(10-2-0)=15.5,LM(1)=2.7ARCH效应LM检验的EViews操作：（1）用1阶自回归检验式检验，tuˆ2=0.6850+0.253521ˆtu(9.4)(9.9)R2=0.0643,LM(1)=2.1,T=1421因为TR2=14220.0643=91.420.05(1)=3.8，所以残差为ARCH过程。EViews操作：在DYcAR(2)AR(3)估计结果窗口点击View选residualtests，Heteroscadasticity，在弹出的对话窗中选ARCH，弹出的对话窗里选1。（2）用2阶自回归检验式检验，tuˆ2=0.6033+0.223121ˆtu+0.1199tuˆ-22(8.1)(8.5)(4.5)R2=0.0777,LM(1)=2.1,T=1421因为TR2=14210.0777=110.420.05(2)=6.0，所以残差为ARCH过程。EViews操作：在DYcAR(2)AR(3)估计结果窗口点击View选residualtests，Heteroscadasticity，在弹出的对话窗中选ARCH，弹出的对话窗里选2。方法2：自回归条件异方差的F检验。①建立原假设H0：1=2=…=q=0（不存在ARCH）H1：1,2,…,q不全为零②估计yt=xt'+ut，求tuˆ，计算tuˆ2。③用tuˆ2估计2个辅助回归式，并计算残差平方和SSEr、SSEu。tuˆ2=0+vt（约束模型，同方差）tuˆ2=0+121ˆtu+