2014《创新设计》二轮专题复习训练13

常考问题13圆锥曲线的综合问题(建议用时：50分钟)1．(2013·济南模拟)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与直线y＝3x无交点，则离心率e的取值范围是________．解析因为双曲线的渐近线为y＝±bax，要使直线y＝3x与双曲线无交点，则直线y＝3x应在两渐近线之间，所以有ba≤3，即b≤3a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1e≤2.答案(1,2]2．P为双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为________．解析设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时PM－PN＝(PF1＋2)－(PF2－1)＝6＋3＝9答案93．已知椭圆x24＋y2b2＝1(0b2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为________．解析不妨设点F的坐标为(4－b2，0)，而|AB|＝2b，∴S△ABF＝12×2b×4－b2＝b4－b2＝b24－b2≤b2＋4－b22＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.答案24．设F1是椭圆x24＋y2＝1的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则PF1→·PO→的最大值为________．解析设P(x0，y0)，依题意可得F1(－3，0)，则PF1→·PO→＝x20＋y20＋3x0＝x20＋1－x204＋3x0＝3x204＋3x0＋1＝34x0＋2332.又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，PF1→·PO→取得最大值4＋23.答案4＋235．(2012·南通、泰州、扬州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若cos∠F1BF2＝725，则直线CD的斜率为________．解析由cos∠F1BF2＝725得cos∠OBF2＝45＝ba，进一步求得直线BD的斜率为－43，由y＝－43x＋b，x2a2＋y2b2＝1⇒916y－b2a2＝b2－y2b2⇒y＋by－b＝－925，∴直线CD的斜率为y＋bx＝y＋b－34y－b＝－925×－43＝1225.答案12256．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是________．解析由题意得，圆半径r＝b2a，因为△ABC是锐角三角形，所以cos0＞cosA2＝cr＞cosπ4，即22＜cr＜1，所以22＜aca2－c2＜1，即22＜e1－e2＜1，解得e∈6－22，5－12.答案e∈6－22，5－127．(2013·镇江模拟)已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．解析由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEFπ4即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝b4a2，取点A－c，b2a，则|AF|＝b2a，|EF|＝a＋c，只要|AF||EF|就能使∠AEFπ4，即b2aa＋c，即b2a2＋ac，即c2－ac－2a20，即e2－e－20，即－1e2.又e1，故1e2.答案(1,2)8．已知A、B是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)和双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足AP→＋BP→＝λ(AM→＋BM→)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________.解析设P(m，n)、M(s，t)，则m2a2－n2b2＝1，m2－a2＝a2n2b2，s2a2＋t2b2＝1，s2－a2＝－a2t2b2，由AP→＋BP→＝λ(AM→＋BM→)．得OP→＝λOM→，即nm＝ts.k1＋k2＝nm＋a＋nm－a＝2mnm2－a2＝2mnb2n2a2＝5，∴nm＝2b25a2，k3＋k4＝ts＋a＋ts－a＝2sts2－a2＝－2stb2a2t2＝－2b2a2·st＝－2b2a2·5a22b2＝－5.答案－59．(2013·苏锡常镇模拟)在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(22，1)到两焦点的距离之和为43.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A，B两点，其中点A在x轴下方，且AF→＝3FB→.求过O，A，B三点的圆的方程．解(1)由题意，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则2a＝43，a＝23.因为点(22，1)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，所以812＋1b2＝1，解得b＝3.所以所求椭圆的方程为x212＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＜0，y2＞0)．点F的坐标为F(3，0)．则AF→＝3FB→，得3－x1＝3x2－3，－y1＝3y2，即x1＝－3x2＋12，y1＝－3y2.①又点A，B在椭圆C上，所以－3x2＋12212＋－3y223＝1，x2212＋y223＝1，解得x2＝103，y2＝23.所以B103，23，代入①，得点A的坐标为(2，－2)．因为OA→·AB→＝0，所以OA⊥AB.所以过O，A，B三点的圆就是以OB为直径的圆．其方程为x2＋y2－103x－23y＝0.10．(2013·浙江卷)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．解(1)由题意得b＝1，a＝2.所以椭圆C1的方程为x24＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝1k2＋1，所以|AB|＝24－d2＝24k2＋3k2＋1.又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由x＋ky＋k＝0，x2＋4y2＝4.消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－8k4＋k2.所以|PD|＝8k2＋14＋k2.设△ABD的面积为S，则S＝12|AB|·|PD|＝84k2＋34＋k2，所以S＝324k2＋3＋134k2＋3≤3224k2＋3·134k2＋3＝161313，当且仅当k＝±102时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±102x－1.11．(2013·郑州模拟)已知椭圆的焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．解(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由焦点坐标可得c＝1.由|PQ|＝3，可得2b2a＝3.又a2－b2＝1，得a＝2，b＝3.故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令y10，y20，设△F1MN的内切圆的半径R，则△F1MN的周长为4a＝8，S△F1MN＝12(|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R，因此要使△F1MN内切圆的面积最大，则R最大，此时S△F1MN也最大．S△F1MN＝12|F1F2||y1－y2|＝y1－y2，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，由x＝my＋1，x24＋y23＝1，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，得y1＝－3m＋6m2＋13m2＋4，y2＝－3m－6m2＋13m2＋4，则S△F1MN＝y1－y2＝12m2＋13m2＋4，令t＝m2＋1，则t≥1，则S△F1MN＝12m2＋13m2＋4＝12t3t2＋1＝123t＋1t.令f(t)＝3t＋1t，则f′(t)＝3－1t2，当t≥1时，f′(t)0，所以f(t)在[1，＋∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤124＝3，当t＝1，m＝0时，S△F1MN＝3，又S△F1MN＝4R，∴Rmax＝34.这时所求内切圆面积的最大值为916π.故△F1MN内切圆面积的最大值为916π，且此时直线l的方程为x＝1.备课札记：