2015高考数学知识点汇编(考前必看)

考前指导高中数学知识点汇编（理科）第1页（共12页）2015高考数学易错知识点汇第一部分集合与逻辑用语1.1集合中元素的三个特征：确定性，互异性，无序性.1.2集合的有关性质：①任何一个集合A是它本身的子集,记为AA.②空集是任何集合的子集,记为A.③空集是任何非空集合的真子集.④()UUUCABCACB,()UUUCABCACB；ABCABC（）（）；ABCABC（）（）.⑤ABAABBAB（在讨论的时候不要遗忘了A的情况）.⑥AB元素的个数：()()cardABcardAcardBcardAB.⑦含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集(非空子集)个数为21n；非空真子集个数为22n.1.3原命题:pq；逆命题:qp；否命题:pq；逆否命题:qp；互为逆否的两个命题是等价的.1.4若pq且qp,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).1.5常见结论的否定形式第二部分函数、导数2.1①映射f:AB是：“一对一或多对一”的对应.2.2函数f:AB是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.2.3函数的三要素：定义域、值域、对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先原则.2.4函数定义域:使函数有意义的自变量取值范围.如:分母0;偶次根式被开方数非负;对数真数0,底数0且1；零指数幂的底数0；实际问题有意义；若()fx定义域为[,]ab,复合函数[()]fgx定义域由()agxb解出；若[()]fgx定义域为[,]ab,则()fx定义域相当于[,]xab时()gx的值域.2.5求值域常用方法:①配方法(二次函数类)；②分离常数法；③换元法(特别注意新元的范围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法；⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；原结论否定原结论否定是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有1n个小于不小于至多有n个至少有1n个对所有x,成立存在某x,不成立p或qp且q对任何x,不成立存在某x,成立p且qp或q考前指导高中数学知识点汇编（理科）第2页（共12页）⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).2.6求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)；⑵代换(配凑)法；⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()fx及另外一个函数的方程组。2.7函数的奇偶性和单调性⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵若()fx是偶函数,那么()()(||)fxfxfx；定义域含零的奇函数必过原点((0)0f)；⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0fxfx或()()1(()0)fxfxfx；注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应在确定定义域的前提下先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如()0fx定义域关于原点对称即可).⑷奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；⑸确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和观察法(用于小题)等.⑹复合函数单调性由“同增异减”判定.（提醒：求单调区间时一定要先求定义域）2.8函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（对x而言）；上下平移----“上加下减”(对()fx而言).⑵翻折变换：()|()|fxfx；()(||)fxfx.⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C与2C的对称性,即证1C上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C上,反之亦然.③函数()yfx与()yfx的图像关于直线0x(y轴)对称；函数()yfx与函数()yfx的图像关于直线0y(x轴)对称；④若函数()yfx对xR时，()()faxfax或()(2)fxfax恒成立,则()yfx图像关于直线xa对称；⑤若()yfx对xR时,()()faxfbx恒成立,则()yfx图像关于直线2abx对称；⑥函数()yfax,()yfbx的图像关于直线2bax对称(由axbx确定)；⑦函数()yfxa与()yfbx的图像关于直线2abx对称；⑧函数()yfx,()yAfx的图像关于直线2Ay对称(由()()2fxAfxy确定)；⑨函数()yfx与()yfx的图像关于原点成中心对称；函数()yfx,()ynfmx考前指导高中数学知识点汇编（理科）第3页（共12页）的图像关于点22(,)mn对称；⑩函数()yfx与函数1()yfx的图像关于直线yx对称；曲线1C：(,)0fxy,关于yxa,yxa的对称曲线2C的方程为(,)0fyaxa(或(,)0fyaxa；2.9导数的定义：()fx在点0x处的导数记作00000()()()limxxxfxxfxxyfx.2.10常见函数的导数公式:0C(C为常数)；1()()nnxnxnQ.(sin)cosxx；(cos)sinxx；()lnxxaaa；()xxee；1(log)logaaxxe.1(ln)xx2.11导数的四则运算法则：()uvuv；()uvuvuv；2()uuvuvvv.2.12复合函数的导数：xuxyyu.2.13函数()yfx在点0x处的导数的几何意义是指：曲线()yfx在点00(,())Pxfx处切线的斜率,即曲线()yfx在点00(,())Pxfx处的切线的斜率是0()fx,切线方程为000()()()yfxfxxx.2.14函数()fx在点0x处有导数,则()fx的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率.但函数()fx的曲线在点0x处有切线,则()fx在该点处不一定可导.如13()fxx在0x有切线,但不可导.2.15导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数()yfx在某个区间内可导,如果()0fx,那么()fx为增函数；如果()0fx,那么()fx为减函数；如果在某个区间内恒有()0fx,那么()fx为常数；(2)求可导函数极值的步骤：①求导数)(xf；②求方程0)(xf的根；③检验)(xf在方程0)(xf根的左右的符号，如果左正右负,那么函数()yfx在这个根处取得最大值；如果左负右正,那么函数()yfx在这个根处取得最小值；(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求()yfx在(,)ab内的极值；②将()yfx在各极值点的极值与()fa、()fb比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.第三部分数列3.1由nS求na,1*1(1)(2,)nnnSnaSSnnN3.2等差数列1{}nnnaaad(d为常数)112(2,*)nnnaaannN21122(,)(,)nnddaanbadbadSAnBnABa；考前指导高中数学知识点汇编（理科）第4页（共12页）3.3等差数列的性质：①()nmaanmd,mnaamnd；②mnlkmnlkaaaa(反之不一定成立)；特别地,当2mnp时,有2mnpaaa；③若{}na、{}nb是等差数列,则{}nnkatb(k、t是非零常数)是等差数列；④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即232,,,mmmmmSSSSS仍是等差数列；⑤等差数列{}na,当项数为2n时,SSnd偶奇,1nnSaSa奇偶；项数为21n时,(*)nSSaanN偶中奇,21(21)nnSna,且1SnSn奇偶；()(21)nnnnAaBbfnfn.⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式100nnaa(或100nnaa).也可用2nSAnBn的二次函数关系来分析.⑦若,()nmamanmn,则0mna；若,()nmSmSnmn,则()mnSmn；若()mnSSmn,则Sm+n=0；S3m=3(S2m－Sm)；mnmnSSSmnd.3.4等比数列121111{}(0)(2,*)nnnnnnnnaaaqqaaannNaaq.3.5等比数列的性质①nmnmaaq；②若{}na、{}nb是等比数列，则{}nka、{}nnab等也是等比数列；③111111(1)1111(1)(1)(1)(1)nnnnqqaaaaaqqqqnaqnaqSqqq；④mnlkmnlkaaaa(反之不一定成立)；mnmnmnnmSSqSSqS.⑤等比数列中232,,,mmmmmSSSSS(注：各项均不为0)仍是等比数列.⑥等比数列{}na当项数为2n时,SSq偶奇；项数为21n时,1SaSq奇偶.3.6①如果数列{}na是等差数列,则数列{}naA(naA总有意义)是等比数列；如果数列{}na是等比数列,则数列{log||}(0,1)anaaa是等差数列；②若{}na既是等差数列又是等比数列,则{}na是非零常数数列；③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；④三个数成等差的设法：,,adaad；三个数成等比的设法：,,aqaaq.3.7数列通项公式的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知nS(即12()naaafn)求na用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn.⑶已知12()naaafn求na用作商法：()(1)(1),(1),(2)nfnfnfnan.⑷若1()nnaafn求na用迭加法.考前指导高中数学知识点汇编（理科）第5页（共12页）12200111sincos12200111sincos⑸已知1()nnaafn,求na用迭乘法.⑹已知数列递推式求na,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如1nnakab,1nnnakab,1nnakaanb(,kb为常数)的递推数列可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后,再求na.②形如11nnnakaba的递推数列可以用“取倒数法”求通项.3.8数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法.公式：12123(1)nnn；222216123(1)(21)nnnn；33332(1)2123[]nnn；2135nn；常见裂项公式111(1)1nnnn；1111()()nnkknnk；1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]nnnnnnn；11(1)!!(1)!nnnn常见放缩公式：21211112()2()nnnnnnnnn.第四部分三角函数4.1终边与终边相同2()kkZ；终边与终边共线()kkZ；4.2弧长公式：|