2015高考物理含弹簧的物理模型专题分析(答案)

含弹簧的物理模型纵观历年的高考试题，和弹簧有关的物理试题占有相当的比重，高考命题者常以弹簧为载体设计出各类试题，这类试题涉及静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能问题等。几乎贯穿整个力学的知识体系。对于弹簧，从受力角度看，弹簧上的弹力是变力；从能量角度看，弹簧是个储能元件。因此，弹簧问题能很好地考查学生的综合分析能力，故备受高考命题者的亲睐。题目类型有：静力学中的弹簧问题，动力学中的弹簧问题，与动量和能量相关的弹簧问题。1．静力学中的弹簧问题（1）胡克定律：F＝kx，ΔF＝k·Δx（2）对弹簧秤的两端施加（沿轴线方向）大小不同的拉力，弹簧秤的示数一定等于挂钩上的拉力。例题1：一根轻质弹簧一端固定，用大小为F1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l1；改用大小为F2的力拉弹簧，平衡时长度为l2。弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为CA．2121FFllB．2121FFllC．2121FFllD．2121FFll例题2：如图所示，两木块A、B的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，两弹簧分别连接A、B，整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提木块A，直到下面的弹簧对地面的压力恰好为零，在此过程中A和B的重力势能共增加了A．212221)(kkgmmB．)(2)(212221kkgmmC．)()(21212221kkkkgmmD．22221)(kgmm＋12211)(kgmmm解析：取A、B以及它们之间的弹簧组成的整体为研究对象，则当下面的弹簧对地面的压力为零时，向上提A的力F恰好为：F＝(m1+m2)g设这一过程中上面和下面的弹簧分别伸长x1、x2，由胡克定律得：x1＝121)(kgmm，x2＝221)(kgmm故A、B增加的重力势能共为：ΔEP＝m1g(x1＋x2)＋m2gx2＝22221)(kgmm＋12211)(kgmmm答案：D【点评】计算上面弹簧的伸长量时，较多的同学会先计算原来的压缩量，然后计算后来的伸长量，再将两者相加，但不如上面解析中直接运用Δx＝kF进行计算更快捷方便。2．动力学中的弹簧问题（1）瞬时加速度问题（与轻绳、轻杆不同）：一端固定、另一端接有物体的弹簧，形变不会发生突变，弹力也不会发生突变。（2）如图所示，将A、B下压后撤去外力，弹簧在恢复原长时刻B与A开始分离。在弹力作用下物体的运动，由于弹力与弹簧的伸长量有关，随着物体的运动，弹簧的长度随之改变。因此，在许多情况下，物体的运动不是匀变速运动，解决这类问题，首先要分析清楚物体的受力情况和运动情况，定性知道物体的速度、加速度的方向及大小变化情况，分成几个阶段，各段情况如何，相互关系是什么，等等。例题3：一个弹簧秤放在水平地面上，Q为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P为一重物，已知P的质量M＝10.5kg，Q的质量m＝1.5kg，弹簧的质量不计，劲度系数k＝800N/m，系统处于静止，如右图所示，现给P施加一个方向向上的力F，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2s时间内F为变力，0.2s以后F为恒力，求力F的最大值与最小值（取g＝10m/s2）分析：P受到的外力有三个：重力Mg、向上的力F及Q对P的支持力N，由牛顿第二定律：F＋N－Mg＝MaQ受到的外力有也三个，重力mg、向上的弹力kx、P对Q的向下的压力N，则kx－N－mg＝ma（1）P做匀加速运动，它受到的合外力一定是恒力。其中重力Mg为恒力，在上升过程中，弹簧压缩量x逐渐减小，kx逐渐减小，N也逐渐减小，F逐渐增大。题目说0.2s以后F为恒力，说明t＝0.2s的时刻，正是P与Q开始脱离接触的时刻，即临界点。（2）t＝0.2s的时刻，是Q对P的作用力N恰好为零的时刻，此时刻P与Q具有相同的速度和加速度。因此此时刻弹簧并未恢复原长，也不能认为此时刻弹簧的弹力为零。（3）当t＝0的时刻，就是力F最小的时刻，此时刻F小＝(M＋m)a（a为它们的加速度）。随后，由于弹簧的弹力逐渐变小，而P与Q的合力保持不变，因此力F逐渐变大，至t＝0.2s时刻，F增至最大，此时刻F大＝M(g＋a)。以上三点中第（2）点是解决此问题的关键所在，只有明确了P与Q脱离接触的瞬间情况，才能确定这0.2s时间内物体的位移，从而求出加速度a，其余问题也就迎刃而解了。解：设开始时弹簧压缩量为x1，t＝0.2s时弹簧压缩量为x2，物体P的加速度为a，则有gmMkx1①mamgkx2②ABk1k2BAPQF22121atxx③由①式，kgmMx1＝0.15m解②③式，a＝6m/s2.在平衡位置拉力有最小值：F小＝(M＋m)a＝72NP、Q分离时拉力达最大值，对P：F大－Mg＝Ma所以：F大＝M(g＋a)＝168N【点评】对于本例所述的物理过程，要特别注意的是：分离时刻m1与m2之间的弹力恰好减为零，下一时刻弹簧的弹力与秤盘的重力使秤盘产生的加速度将小于a，故秤盘与重物分离。3．与动量、能量相关的弹簧问题与动量、能量相关的弹簧问题在高考试题中出现频繁，而且常以计算题出现，在解析过程中以下两点结论的确应用非常重要：（1）弹簧压缩和伸长的形变相同时，弹簧的弹性势能相等。（2）弹簧连接两个物体做变速运动时，弹簧处于原长时两物体的相对速度最大，弹簧的形变量最大时两物体的速度相等。例题4：如图所示，用轻弹簧将质量均为m＝1kg的物块A和B连结起来，将它们固定在空中，弹簧处于原长状态，A距地面的高度h1＝0.90m。同时释放两物块，A与地面碰撞后速度立即变为零，由于B压缩弹簧后被反弹，使A刚好能离开地面（但不继续上升）。若将B物块换为质量为2m的物块C（图中未画出），仍将它与A固定在空中且弹簧处于原长，从A距地面的高度为h2处同时释放，C压缩弹簧被反弹后，也刚好能离开地面，已知弹簧的劲度系数k＝100N/m，求h2的大小。解：设A物块落地时，B物块的速度为v1，则有：21mv12＝mgh1设A刚好离地时，弹簧的形变量为x，对A物块有：mg＝kx从A落地后到A刚好离开地面的过程中，对于A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：21mv12＝mgx＋ΔEp将B换成C后，设A落地时，C的速度为v2，则有：21·2mv22＝2mgh2从A落地后到A刚好离开地面的过程中，A、C及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：21·2mv22＝2mgx＋ΔEp联立解得：h2＝0.50m【点评】由于高中物理对弹性势能的表达式不作要求，所以在高考中几次考查弹簧问题时都要用到上述结论（1）。例题5：如图所示，质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，平衡时，弹簧的压缩量为x0．一个物块从钢板的正上方相距3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动．已知物块的质量也为m时，它们恰能回到O点；若物块的质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时还具有向上的速度．求物块向上运动所到达的最高点与O点之间的距离。【解析】设物块与钢板碰撞前瞬间的速度为v0，由机械能守恒定律得：mg3x0＝21mv02v0＝06gx设质量为m的物块与钢板碰撞后瞬间的速度为v1，由动量守恒定律有：mv0＝(m＋m)v1v1＝2106gx设弹簧的压缩量为x0时的弹性势能为Ep，对于物块和钢板碰撞后直至回到O点的过程，由机械能守恒定律得：Ep＋21×2m×v12＝2mgx0设质量为2m的物块与钢板碰撞后瞬间的速度为v2，物块与钢板回到O点时所具有的速度为v3，由动量守恒定律有：2mv0＝(2m＋m)v2由机械能守恒定律有：Ep＋21×3m×v22＝3mgx0＋21×3m×v32解得：v3＝0gx当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力的作用，加速度为g；一过O点，钢板就会受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g，由于物块与钢板不粘连，故在O点处物块与钢板分离；分离后，物块以速度v3开始竖直上抛，由机械能守恒定律得：21·2mv32＝2mgh解得：h＝20x所以物块向上运动所到达的最高点与O点之间的距离为20x．【点评】①物块与钢板碰撞的瞬间外力之和并不为零，但这一过程时间极短，内力远大于外力，故可近似看成动量守恒．②两次下压至回到O点的过程中，速度、路程并不相同，但弹性势能的改变(弹力做的功)hAB相同．③在本题中，物块与钢板下压至回到O点的过程也可以运用动能定理列方程．第一次：W弹－2mgx0＝0－21×2m×v12第二次：W弹－3mgx0＝21×3m×v32－21×3m×v22例题6：用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以v0＝6m/s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物块C静止在前方，如图所示，B与C碰撞后二者粘在一起运动，则在以后的运动中：（1）当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？（2）弹簧弹性势能的最大值是多少？（3）A的速度方向有可能向左吗？为什么？解析：（1）B、C发生碰撞时，B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间，B、C两者速度为v，则有：mBv＝(mB＋mC)v解得：v＝2m/s。此后A、B、C继续运动，弹簧被压缩，当A、B、C三者的速度相等（设为v′）时，弹簧的弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，则有：(mA＋mB)v0＝(mA＋mB＋mC)v′解得：v′＝3m/s（2）A的速度为v′时，弹簧的弹性势能最大，设其值为Ep，根据能量守恒定律得；Ep＝21mAv0221(mB＋mC)v2＋－21(mA＋mB＋mC)v′2解得：Ep＝12J（3）方法一：A不可能向左运动。根据系统动量守恒定律有：(mA＋mB)v0＝mAvA＋(mB＋mC)vB设A速度向左，则vA＜0，解得：vB＞4m/s则B、C发生碰撞后，A、B、C三者的动能之和为：E′＝21mAvA2＋21(mB＋mC)vB2＞21(mB＋mC)vB2＝48J实际上系统的机械能为：E＝21mAv02＋21(mB＋mC)v2＝36J＋12J＝48J根据能量守恒定律可知，E′＞E是不可能的，所以A不可能向左运动。方法二：B、C碰撞后系统的运动可以看到做整体向右匀速运动与A、B和C相对振动的合成（即相当于在匀速运动的车厢中两物块相对振动）由（1）知整体匀速运动的速度v1＝v′＝3m/s取以v1＝3m/s匀速运动的物体为参考系，可知弹簧处于原长时，A、B和C相对振动的速率最大，分别为：vAO＝v0－v1＝3m/svBO＝│v－v1│＝1m/s由此可画出A、B和C的速度随时间变化的图象如图所示，故A不可能有向左运动的时刻。【点评】（1）要清晰地想象、理解研究对象的运动过程：相当于在3m/s匀速行驶的车厢内，A、B和C做相对弹簧上某点的简谐运动，振动的最大速率分别为3m/s和1m/s。（2）当弹簧由压缩恢复至原长时，A最有可能向左运动，但此时A的速度为零。例题7：探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m和4m，笔的弹跳过程分为三个阶段：①把笔竖起倒立于水平硬桌面，下压使其下端接触桌面（如图甲所示）；②由静止释放，外壳竖直上升到下端距桌面高度为h1时，与静止的内芯碰撞（如图乙所示）；③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h2处（如图丙所示）。设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力，不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g，求：（1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小。（2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功。（3）从外壳下端离开桌面到上升至h2处，笔损失的机械能。（2009高考重庆理综卷）解析：设外壳上升到h1时速度的大小为v1，外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小为v2。（1）对外壳和内芯，从撞后达到共同速度到上升至h2处，由于动能定理得：(4m＋m)g(h2－h1)＝21(4m＋m)v22－0解得：v2＝)(212hhg（2）外壳与内芯在碰撞过程中动量守恒，即：4mv1＝(4m＋m)v2将v2代入得：v1＝