第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答

“高中物理参考”收集第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为V2=HA（1）p2=p1经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为AHHV)(2（2）2222VVpp（3）渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为HAVV11（4）HgppΔ221（5）式中为水的密度，g为重力加速度．由理想气体状态方程nRTpV可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数RTVpRTVpn1111（6）在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数AnNN（7）式中NA为阿伏伽德罗常量．渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了p0VΔnRTp（8）经过2小时渗透室上部分中空气的压强为ppp00（9）测试过程的平均压强差)(211010pp()ppp（10）根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数11111smPa104.2tSpNdk（11）评分标准：本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10)式各2分，(11)式4分．二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O处，设待测量星体位于C处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角1，位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC的夹角2，就可以计算出此时星体C与地心的距离OC．因卫星椭圆轨道长轴的长度“高中物理参考”收集远近＋rrAB(1)式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒远远近近＝rmrvmv(2)式中m为卫星的质量．由机械能守恒远远近近－－rGMmmrGMmm222121vv(3)已知Rr2＝近，RGM43＝近v得Rr6远(4)所以RRRAB862(5)在△ABC中用正弦定理ABBC211πsinsin(6)所以ABBC211sinsin(7)地心与星体之间的距离为OC，在△BOC中用余弦定理2222cos2BCrBCrOC远远(8)由式(4)、(5)、(7)得212121212sincossin24sinsin1692ROC(9)评分标准：本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6)、(8)式各3分，(9)式6分．三、因子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命s100.260根据时间膨胀效应，在地球上观测到的子平均寿命为，201cv(1)代入数据得=1.4×10－5s(2)相对地面，若子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的子数为tNtNe0(3)根据题意有CABO1“高中物理参考”收集%5e0tNtN(4)对上式等号两边取e为底的对数得1005lnt(5)代入数据得s1019.45t(6)根据题意，可以把子的运动看作匀速直线运动，有thv(7)代入数据得m1024.14h(8)评分标准：本题15分．(1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7)式2分，(8)式3分．四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中MM表示组合透镜的平面，1S、2S、3S为三个光束中心光线与该平面的交点．22OS＝u就是物距．根据透镜成像公式fuLu111(1)可解得]4[212fLLLu因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utan≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f和L的值，算得hu)236(≈1.757h(2)此解满足上面的条件．分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有hhhLuLOOOO854.0)24121(3221(3)即光心O1的位置应在1S之下与1S的距离为hOOhOS146.02111(4)同理，O3的位置应在3S之上与3S的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点．2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜．因为三个透镜的半径r=0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于21OO＝32OO＝0.854h2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．zLS1PS2hh1SS3’O1O2(S2’)O3图1M’Mu“高中物理参考”收集图2画出了L1、L2放在MM平面内时相互交叠的情况（纸面为MM平面）．图中C1、C2表示L1、L2的边缘，1S、2S为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与O1O2的交点．1S为圆心的圆1和以2S（与O2重合）为圆心的圆2分别是光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为hu439.0tan(5)根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知hrhhSOKO75.0585.0146.0439.0111(6)故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线QQ和NN．若沿位于QQ和NN之间且与它们平行的任意直线TT对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P点．现在计算QQ和NN的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图2所示，则对任意一条切割线TT，x1、x2之和为hOOrxxd646.022121（7）由于TT必须在QQ和NN之间，从图2可看出，沿QQ切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)，111OSrxM代入r，和11OS的值，得hxM457.01(8)代入(7)式，得hxdxMm189.012(9)由图2可看出，沿NN切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)，rxM2代入r和的值，得hxM311.02(10)hxdxMm335.021（11）由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同．评分标准：本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2=O1O2=0.854h，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．0.146h0.854h0.439h0.439hhS1’O2(S2’)O1W1W2QQ’NN’TT’C1C2’圆1圆2图2x2x1K“高中物理参考”收集五、1．解法Ⅰ：如图1所示，S为原空腔内表面所在位置，1q的位置应位于1OP的延长线上的某点B1处，2q的位置应位于2OP的延长线上的某点B2处．设A1为S面上的任意一点，根据题意有0111111BAqkPAqk(1)0212212BAqkPAqk(2)怎样才能使(1)式成立呢？下面分析图1中11AOP与11BOA的关系．若等效电荷1q的位置B1使下式成立，即211ROBOP＝(3)即1111OBOAOAOP(4)则1111BOAAOP∽△△有RaOAOPBAPA111111(5)由(1)式和(5)式便可求得等效电荷1q11qaRq(6)由(3)式知，等效电荷1q的位置B1到原球壳中心位置O的距离aROB21(7)同理，B2的位置应使2112BOAAOP∽△△，用类似的方法可求得等效电荷22qaRq(8)等效电荷2q的位置B2到原球壳中心O位置的距离aROB22(9)解法Ⅱ：在图1中，设111rPA，111rBA，dOB1．根据题意，1q和1q两者在A1点产生的电势和为零．有01111rqkrqk（1＇）式中B2B1P2P1OR1aa图1S1A1“高中物理参考”收集)cos2(RaaRr（2＇）21221)cos2(RddRr（3＇）由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得)cos2()cos2(22212221RaaRqRddRq（4＇）（4＇）式是以cos为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意均成立，等号两边的相应系数应相等，即)()(22212221aRqdRq（5＇）aqdq2121（6＇）由（5＇）、（6＇）式得0)(2222aRdRaad（7＇）解得aRaRad2)()(2222（8＇）由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得aRd2（9＇）由（6＇）、（9＇）式有212221qaRq（10＇）考虑到（1＇）式，有11qaRq（11＇）同理可求得aROB22（12＇）22qaRq（13＇）2．A点的位置如图2所示．A的电势由q1、1q、q2、2q共同产生，即ABaRAPABaRAPkqUA22111111(10)因“高中物理参考”收集22221cos2aRaRrrAB222cos2ararAP22222cos2aRaRrrAB代入(10)式得422222cos2cos21RraRraRararkqUA422222cos2cos21RraRraRarar(11)评分标准：本题20分．第1问18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9)式各3分．解法Ⅱ的评分可参考解法Ⅰ．第2问2分，即(11)式2分．六、令I表示题述极短时间t内挡板对C冲量的大小，因为挡板对C无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE，如图所示；I表示B、C间的杆对B或C冲量的大小，其方向沿杆方向，对B和C皆为推力；Cv表示t末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，Bv表示t末