2014届高三数学(理)一轮复习课后作业(二十二)两角和与差的正弦余弦和正切公式

课后作业(二十二)两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．(2013·清远质检)3－sin70°2－cos210°＝()A.12B.22C．2D.322．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，则C等于()A.π3B.2π3C.π6D.π43．(2013·广州模拟)若cos2αsin（α－π4）＝－22，则cosα＋sinα的值为()A．－72B．－12C.12D.724．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝45，且α是第二象限角，则tan(π4＋α)等于()A．7B．－7C.17D．－175．(2013·潮州模拟)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝()A．－79B．－19C.19D.79二、填空题6．已知tan(x＋π4)＝2，则tanxtan2x的值为________．7．已知sin(θ＋π3)＝35，θ∈(π6，23π)，则cosθ＝________．8．(2013·肇庆调研)若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tanα·tanβ＝________．三、解答题9．(2013·清远质检)已知函数f(x)＝2sin(13x－π6)，x∈R.(1)求f(5π4)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f(3α＋π2)＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.(1)求f(x)的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f(α＋π3)＝13，求sin(2α＋2π3)的值．11．已知函数f(x)＝sin(x＋7π4)＋cos(x－3π4)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.解析及答案一、选择题1．【解析】原式＝3－sin70°12（3－cos20°）＝2（3－sin70°）3－sin70°＝2.【答案】C2．【解析】由已知得tanA＋tanB＝－3(1－tanAtanB)，∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A＋B)＝－3，又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝3，又0＜C＜π，∴C＝π3.【答案】A3．【解析】cos2αsin（α－π4）＝cos2α－sin2α22（sinα－cosα）＝－2(sinα＋cosα)＝－22.∴sinα＋cosα＝12.【答案】C4．【解析】∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝45，∴cosα＝－45.又α是第二象限角，∴sinα＝35，则tanα＝－34.∴tan(π4＋α)＝tanπ4＋tanα1－tanπ4tanα＝1－341＋34＝17.【答案】C5．【解析】∵sin(π4＋θ)＝13，∴cos(π2＋2θ)＝1－2sin2(π4＋θ)＝1－29＝79，又cos(π2＋2θ)＝－sin2θ，∴－sin2θ＝79，即sin2θ＝－79.【答案】A二、填空题6．【解析】由tan(x＋π4)＝2得tanx＋11－tanx＝2，∴tanx＝13，∴tanxtan2x＝tanx2tanx1－tan2x＝1－tan2x2＝12(1－19)＝49.【答案】497．【解析】∵θ∈(π6，23π)，∴θ＋π3∈(π2，π)，由sin(θ＋π3)＝35知cos(θ＋π3)＝－45，∴cosθ＝cos[(θ＋π3)－π3]＝－45×12＋35×32＝33－410.【答案】33－4108．【解析】∵cos(α＋β)＝15且cos(α－β)＝35，∴cosαcosβ－sinαsinβ＝15，cosαcosβ＋sinαsinβ＝35，∴cosαcosβ＝25，sinαsinβ＝15，∴tanα·tanβ＝sinαsinβcosαcosβ＝12.【答案】12三、解答题9．【解】(1)f(5π4)＝2sin(13×5π4－π6)＝2sinπ4＝2.(2)f(3α＋π2)＝2sin[(13(3α＋π2)－π6)]＝2sinα＝1013，∴sinα＝513，f(3β＋2π)＝2sin[13(3β＋2π)－π6]＝2sin(β＋π2)＝65，∴cosβ＝35.∵α，β∈[0，π2]，∴cosα＝1－sin2α＝1213，sinβ＝1－cos2β＝45，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝1213×35－513×45＝1665.10．【解】(1)因为周期为2π，所以ω＝1，又因为0≤φ≤π，且f(x)为偶函数，所以φ＝π2，则f(x)＝sin(x＋π2)＝cosx.(2)因为cos(α＋π3)＝13，又α＋π3∈(0，5π6)，所以sin(α＋π3)＝223，因此sin(2α＋2π3)＝2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝2×223×13＝429.11．【解】(1)∵f(x)＝sin(x＋7π4－2π)＋sin(x－3π4＋π2)＝sin(x－π4)＋sin(x－π4)＝2sin(x－π4)．∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明∵cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45.∴cosβcosα＋sinβsinα＝45，cosβcosα－sinβsinα＝－45，两式相加得2cosβcosα＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.由(1)知f(x)＝2sin(x－π4)，∴[f(β)]2－2＝4sin2π4－2＝4×(22)2－2＝0.