2014届高三数学一轮复习《导数研究函数的最值优化问题方程与不等式》理

[第15讲导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2013·韶关调研]函数y＝xex的最小值是()A．－1B．－eC．－1eD．不存在2．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．43．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y＝－18t3－34t2＋36t－6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A．6时B．7时C．8时D．9时4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件能力提升5．一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是()A．12cm3B．15cm3C．18cm3D．16cm36．[2013·湖南卷]设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A．1B.12C.52D.227．[2013·全国卷]已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()A．－2或2B．－9或3C．－1或1D．－3或18．已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A．1B.3C．2D．39．[2013·辽宁卷]若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是()A．ex≤1＋x＋x2B.11＋x≤1－12x＋14x2C．cosx≥1－12x2D．ln(1＋x)≥x－18x210．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．11．[2013·厦门质检]设函数f(x)＝e2x2＋1x，g(x)＝e2xex，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式g（x1）k≤f（x2）k＋1恒成立，则正数k的取值范围是________．12．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2.则该商品零售价定为________时，毛利润L最大，最大毛利润是________(毛利润＝销售收入－进货支出)．13．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝（梯形的周长）2梯形的面积，则S的最小值是________．14．(10分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．15．(13分)[2013·河北重点中学联考]已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；(2)若函数y＝f(x)＋g(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1＜x2)且x2－x1＞ln2，求实数a的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax.(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为32，求实数a的值；(3)试求实数a的取值范围，使得在区间(1，＋∞)上，函数y＝x2的图象恒在函数f(x)的图象的上方．课时作业(十五)【基础热身】1．C[解析]y′＝(x＋1)ex，令y′＝0，得x＝－1.因为x－1时y′0；x－1时y′0，所以x＝－1时，ymin＝－1e.2．C[解析]f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或2(舍去)，当－1≤x0时，f′(x)0，当0x≤1时，f′(x)0，所以当x＝0时，f(x)取得最大值2.3．C[解析]y′＝－38t2－32t＋36＝－38(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8，当6≤t8时，y′0，当8t9时，y′0，∴当t＝8时，y有最大值．4．C[解析]因为y′＝－x2＋81，所以当x9时，y′0；当0x9时，y′0，所以函数y＝－13x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点．又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．【能力提升】5．C[解析]设小正方形的边长为xcm，则盒子底面长为8－2x，宽为5－2x.V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x0x52，V′＝12x2－52x＋40，由V′＝0得x＝1或x＝103(舍去)，则V极大值＝V(1)＝18，且在定义域内仅有一个极大值，∴V最大值＝18.6．D[解析]用转化的思想：直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx图象分别交于M，N，而||MN的最小值，实际是函数F(t)＝t2－lnt(t0)时的最小值．令F′(t)＝2t－1t＝0，得t＝22或t＝－22(舍去)．故t＝22时，F(t)＝t2－lnt有最小值，即||MN达到最小值，故选D.7．A[解析]由f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0⇒x＝±1，结合f(x)的图象可知只要f(－1)＝0或f(1)＝0即可，故解得c＝－2或2，故选A.8．C[解析]设底面边长为a，则高h＝SA2－22a2＝12－12a2，所以体积V＝13a2h＝1312a4－12a6.设y＝12a4－12a6，则y′＝48a3－3a5，当y取最值时，y′＝48a3－3a5＝0，解得a＝0(舍去)或a＝4，故a＝4时体积最大，此时h＝12－12a2＝2.9．C[解析]验证A，当x＝3时，e32.73＝19.681＋3＋32＝13，故排除A；验证B，当x＝12时，11＋12＝63，而1－12×12＋14×14＝1316＝3948＝152148153648＝16648，故排除B；验证C，令g(x)＝cosx－1＋12x2，g′(x)＝－sinx＋x，g″(x)＝1－cosx，显然g″(x)0恒成立，所以当x∈[0，＋∞)时，g′(x)≥g′(0)＝0，所以x∈[0，＋∞)时，g(x)＝cosx－1＋12x2为增函数，所以g(x)≥g(0)＝0恒成立，即cosx≥1－12x2恒成立；验证D，令h(x)＝ln(1＋x)－x＋18x2，h′(x)＝1x＋1－1＋x4＝x（x－3）4（x＋1），令h′(x)0，解得0x3，所以当0x3时，h(x)h(0)＝0，显然不恒成立．故选C.10.34V[解析]设底面边长为x，则高为h＝4V3x2，∴S＝3×4V3x2·x＋2×34x2＝43Vx＋32x2，∴S′＝－43Vx2＋3x，令S′＝0，得x＝34V.当0x34V时，S′0，当x34V时，S′0，故当x＝34V时，S取得最小值．11．k≥1[解析]∵k为正数，∴对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式g（x1）k≤f（x2）k＋1恒成立⇒g（x）kmax≤f（x）k＋1min.由g′(x)＝ex＋2（1－x）e2x＝0得x＝1.x∈(0，1)，g′(x)0，x∈(1，＋∞)，g′(x)0，∴g（x）kmax＝g（1）k＝ek.同理f′(x)＝e2x2－1x2＝0⇒x＝1e，x∈0，1e，f′(x)0，x∈1e，＋∞，f′(x)0，∴f（x）k＋1min＝f1ek＋1＝2ek＋1，∴ek≤2ek＋1，k0⇒k≥1.12．3023000[解析]由题意知L(P)＝P·Q－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，∴L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍)．因为在P＝30附近的左侧L′(P)0，右侧L′(P)0，∴L(30)是极大值．根据实际意义知，L(30)是最大值，此时L(30)＝23000.即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23000元．13.3233[解析]设DE＝x，由ED∥BC，△ABC为正三角形，AD＝DE＝AE＝x，BD＝EC＝1－x.过D作DF⊥BC，DF＝32(1－x)，梯形的周长为BD＋DE＋EC＋BC＝3－x，梯形的面积为12(x＋1)×32(1－x)＝34(1－x2)．S＝（3－x）234（1－x2）(0x1)．S′＝43（2x－6）（1－x2）－（3－x）2（－2x）（1－x2）2＝43（2x－6）（1－3x）（1－x2）2，令S′＝0，解得x＝13或3(舍去)，0x13，S′0，13x1，S′0，∴x＝13时，Smin＝3233.14．解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5.再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x.所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－2400（3x＋5）2，令f′(x)＝0，即2400（3x＋5）2＝6.解得x＝5或x＝－253(舍去)．当0x5时，f′(x)0，当5x10时，f′(x)0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.故当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．15．解：(1)由题意f′(x)＝lnx＋1＝0，得x＝1e.①当0t1e时，函数f(x)在t，1e上单调递减，在1e，t＋2上单调递增，此时函数f(x)在[t，t＋2]上的最小值为f1e＝－1e.②当t≥1e时，函数f(x)在[t，t＋2]上单调递增，此时函数f(x)在[t，t＋2]上的最小值为f(t)＝tlnt.(2)由题意y＝f(x)＋g(x)＝xlnx－x2＋ax＋2，则y′＝lnx－2x＋a＋1，知y′＝lnx－2x＋a＋1＝0有两个不同的实根x1，x2，等价于a＝－lnx＋2x－1有两个不同的实根x1，x2，等价于直线y＝a与函数G(x)＝－lnx＋2x－1的图象有两个不同的交点．由G′(x)＝－1x＋2，知G(x)在0，12上单调递减，在12，＋∞上单调递增，画出函数G(x)图象的大致形状如图，由图易知，当aG(x)min＝G12＝ln2时，x1，x2存在，且x2－x1的值随a的增大而增大．而当x2－x1＝ln2时，由题意得lnx1－2x1＋a＋1＝0，lnx2－2x2＋a＋1＝0.两式相减可得lnx2x1＝2(x2－x1)＝2ln2，得x2＝4x1，代入x2－x1＝ln2得x2＝4x1＝43ln2，此时实数a＝23ln2－lnln23－1，所以实数a的取值范围为a23ln2－lnln23－1.【难点突破】16．解：(1)f′(x)＝1x＋ax2＝x＋ax2(x0)．当a0时，f′(x)0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)由f′(x)＝0得x＝－a.①当a≥－1时，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数，f(x)min＝f(1)＝－a＝32，