2014届高三数学一轮复习巩固与练习变量间的相关关系及统计案例

巩固1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是()A．正方形的面积与周长B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间C．人的身高与体重D．人的身高与视力答案：C2．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y^＝a＋bx中，回归系数b()A．不能小于0B．不能大于0C．不能等于0D．只能小于0解析：选C.∵b＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但b能大于0也能小于0.3．(2009年高考宁夏、海南卷)对变量x、y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C.由题图1可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由题图2可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．4．已知回归方程y^＝4.4x＋838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为________．解析：x与y的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数14.4＝1044＝522.答案：5225．下面是一个2×2列联表y1y2总计x1a[来源:学科网ZXXK]2173x222527总计b46则表中a、b处的值分别为________．[来源:学科网ZXXK]解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝54.答案：52、546．某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据所给数据：(1)写出2×2列联表；(2)判断产品是否合格与设备改造是否有关．解：(1)由已知数据得合格品不合格品合计设备改造后653095设备改造前364985合计10179180(2)根据列联表中数据，K2的观测值为k＝180×(65×49－36×30)2101×79×85×95≈12.38.由于12.3810.828，有99.9%的把握认为产品是否合格与设备改造有关．练习1．下列关系属于线性负相关的是()A．父母的身高与子女身高的关系B．球的体积与半径之间的关系C．汽车的重量与汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程D．一个家庭的收入与支出解析：选C.A、D中的两个变量属于线性正相关，B中两个变量是函数关系．2．下列有关回归直线方程y^＝bx＋a的叙述正确的是()①反映y^与x之间的函数关系；②反映y与x之间的函数关系；③表示y^与x之间的不确定关系；④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线．A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.y^＝bx＋a表示y^与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系；但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，故选D.3．设有一个回归方程y^＝3－5x，变量x增加一个单位时()A．y平均增加3个单位B．y平均减少5个单位C．y平均增加5个单位D．y平均减少3个单位解析：选B.∵－5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位，y平均减少5个单位．4．如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据()A．K2＞3.841B．K2＜3.841C．K2＞6.635D．K2＜6.635解析：选A.比较K2的值和临界值的大小，95%的把握则K2＞3.841，K2＞6.635就约有99%的把握．5．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不．正确的是()A．由样本数据得到的回归方程y^＝b^x＋a^必过样本中心(x，y)B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系解析：选C.C中应为R2越大拟合效果越好．6．已知回归方程y^＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和是()A．0.01B．0.02C．0.03D．0.04解析：选C.当x＝2时，y^＝5，当x＝3时，y^＝7，当x＝4时，y^＝9.∴e^1＝4.9－5＝－0.1，e^2＝7.1－7＝0.1，e^3＝9.1－9＝0.1.∴i＝13e^i2＝(－0.1)2＋(0.1)2＋(0.1)2＝0.03.7.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．解析：因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．答案：D8．下列说法：[来源:学§科§网Z§X§X§K]①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②回归方程y^＝bx＋a必过点(x，y)；③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的是________．解析：①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确．答案：③④9．在2009年十一国庆8天黄金周期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品的一天销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为________．解析：由数据表可得x＝10，y＝8，离差x－x：－1，－0.5,0，0.5,1；离差y－y：3,2,0，－2，－3.∴b^＝－1×3－0.5×2－0.5×2－1×31＋0.25＋0＋0.25＋1＝－3.2，a^＝y－b^x＝40，∴回归直线方程为y^＝－3.2x＋40.答案：y^＝－3.2x＋4010．在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：身高(cm)143156159172165171177161164160体重(kg)41496179686974696854根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系．解：以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．11．(2009年高考辽宁卷)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：乙厂：(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；[来源:学.科.网Z.X.X.K](2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)甲厂乙厂合计优质品360320680非优质品140180320合计5005001000k＝1000×(360×180－320×140)2500×500×680×320≈7.356.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．[来源:学§科§网Z§X§X§K]12.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x(℃)101113128发芽数y(颗)2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？解：(1)设抽到不相邻2组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻2组数据的情况有4种，所以P(A)＝1－410＝35.(2)由数据求得，x＝12，y＝27，由公式求得．b^＝52，a^＝y－b^x＝－3.所以y关于x的线性回归方程为y^＝52x－3.(3)当x＝10时，y^＝52×10－3＝22，|22－23|2；当x＝8时，y^＝52×8－3＝17，|17－16|2.所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．