2014届高三数学一轮复习巩固与练习数列求和

1．已知{an}是等差数列，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，则该数列前10项和S10等于()A．64B．100C．110D．120解析：选B.设等差数列公差为d，则由已知得a1＋a1＋d＝4a1＋6d＋a1＋7d＝28，即2a1＋d＝42a1＋13d＝28，解得a1＝1，d＝2，∴S10＝10a1＋10×92d＝10×1＋10×92×2＝100.2．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列{Snn}的前10项的和为()A．120B．70C．75D．100解析：选C.Sn＝n(a1＋an)2＝n(n＋2)，∴Snn＝n＋2.故S11＋S22＋…＋S1010＝75.3．(原创题)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是()A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n解析：选A.f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，∴f(x)＝x(x＋1)，1f(n)＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1，用裂项相消法求和得Sn＝nn＋1.故选A.4．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，S17＋S33＋S50等于________．解析：由题意知Sn＝n＋12(n为奇数)，－n2(n为偶数).∴S17＝9，S33＝17，S50＝－25，∴S17＋S33＋S50＝1.答案：15．若数列{an}是正项数列，且a1＋a2＋…＋an＝n2＋3n(n∈N*)，则a12＋a23＋…＋ann＋1＝________.解析：令n＝1得a1＝4，即a1＝16，当n≥2时，an＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2，所以an＝4(n＋1)2，当n＝1时，也适合，所以an＝4(n＋1)2(n∈N*)．于是ann＋1＝4(n＋1)，故a12＋a23＋…＋ann＋1＝2n2＋6n.答案：2n2＋6n6．已知等差数列{an}中，Sn是它前n项和，设a6＝2，S10＝10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按取出的顺序组成一个新数列{bn}，试求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设数列{an}首项，公差分别为a1，d.则由已知得a1＋5d＝2①10a1＋10×92d＝10②联立①②解得a1＝－8，d＝2，所以an＝2n－10(n∈N*)．(2)bn＝a2n＝2·2n－10＝2n＋1－10(n∈N*)，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝4(1－2n)1－2－10n＝2n＋2－10n－4.练习1．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，且S25＝100，则a12＋a14等于()A．16B．8C．4D．不确定解析：选B.由数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，可得数列{an}是等差数列，S25＝(a1＋a25)·252＝100，解得a1＋a25＝8，所以a1＋a25＝a12＋a14＝8.2．数列{an}、{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项和为()A．700B．710C．720D．730解析：选C.由题意知{an＋bn}也为等差数列，所以{an＋bn}的前20项和为：S20＝20(a1＋b1＋a20＋b20)2＝20×(5＋7＋60)2＝720.3．数列9,99,999，…的前n项和为()A.109(10n－1)＋nB．10n－1C.109(10n－1)D.109(10n－1)－n[来源:学科网ZXXK]解析：选D.∵数列通项an＝10n－1，∴Sn＝(10＋102＋103＋…＋10n)－n＝10(1－10n)1－10－n＝109(10n－1)－n.故应选D.4.(2010年哈师大附中模拟)设an＝－n2＋17n＋18，则数列{an}从首项到第几项的和最大()A．17B．18C．17或18D．19[来源:Zxxk.Com]解析：选C.令an≥0，得1≤n≤18.∵a18＝0，a170，a190，∴从首项到第18项或17项和最大．5．数列an＝1n(n＋1)，其前n项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A．－10B．－9C．10D．9解析：选B.数列的前n项和为11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)＝1－1n＋1＝nn＋1＝910，∴n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0.令x＝0，得y＝－9，∴在y轴上的截距为－9.6．若{an}是等差数列，首项a10，a2009＋a20100，a2009·a20100，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是()A．4017B．4018C．4019D．4020解析：选B.∵a10，a2009＋a20100，a2009·a20100，且{an}为等差数列，∴{an}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2009是绝对值最小的正数，a2010是绝对值最小的负数(第一个负数)，且|a2009||a2010|.∵在等差数列{an}中，a2009＋a2010＝a1＋a40180，S4018＝4018(a1＋a4018)20，∴使Sn0成立的最大自然数n是4018.7．数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n项和Sn＝________.解析：由于an＝11＋2＋3＋…＋n＝2n(n＋1)＝2(1n－1n＋1)∴Sn＝2(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1)＝2(1－1n＋1)＝2nn＋1.答案：2nn＋18．若1＋3＋5＋…＋(2x－1)11·2＋12·3＋…＋1x(x＋1)＝110(x∈N＋)，则x＝________.解析：原式分子为1＋3＋5＋…＋(2x－1)＝(1＋2x－1)x2＝x2，分母为11·2＋12·3＋…＋1x(x＋1)[来源:Z*xx*k.Com]＝1－12＋12－13＋…＋1x－1x＋1＝xx＋1，原式为：x2xx＋1＝x2＋x＝110⇒x＝10.答案：109．数列{an}中，a1＝－60，且an＋1＝an＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．解析：{an}是等差数列，an＝－60＋3(n－1)＝3n－63，an≥0，解得n≥21.∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋(a21＋…＋a30)＝S30－2S20＝(－60＋90－63)302－(－60＋60－63)·20＝765.答案：76510．已知函数f(x)＝m·2x＋t的图象经过点A(1,1)、B(2,3)及C(n，Sn)，Sn为数列{an}的前n项和，n∈N*.(1)求Sn及an；(2)若数列{cn}满足cn＝6nan－n，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)由2m＋t＝14m＋t＝3，得m＝1t＝－1，∴f(x)＝2x－1，∴Sn＝2n－1(n∈N*)．∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.[来源:学科网]当n＝1时，S1＝a1＝1符合上式．∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知cn＝6nan－n＝3n×2n－n.从而Tn＝3(1×2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n)＝3(n－1)·2n＋1－n(n＋1)2＋6.11．将n2个数排成n行n列的一个数阵：a11a12a13…a1na21a22a23…a2na31a32a33…a3n……………an1an2an3…ann已知a11＝2，a13＝a61＋1，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，其中m为正实数．(1)求第i行第j列的数aij；(2)求这n2个数的和．解：(1)由a11＝2，a13＝a61＋1得2m2＝2＋5m＋1，解得m＝3或m＝－12(舍去)．aij＝ai1·3j－1＝[2＋(i－1)m]3j－1＝(3i－1)3j－1.(2)S＝(a11＋a12＋…＋a1n)＋(a21＋a22＋…＋a2n)＋…＋(an1＋an2＋…＋ann)＝a11(1－3n)1－3＋a21(1－3n)1－3＋…＋an1(1－3n)1－3＝12(3n－1)·(2＋3n－1)n2＝14n(3n＋1)(3n－1)．12.(2009年高考全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(1＋1n)an＋n＋12n.(1)设bn＝ann，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)由已知得b1＝a1＝1，且an＋1n＋1＝ann＋12n，即bn＋1＝bn＋12n，从而b2＝b1＋12，[来源:学科网]b3＝b2＋122，…bn＝bn－1＋12n－1(n≥2)．于是bn＝b1＋12＋122＋…＋12n－1＝2－12n－1(n≥2)．又b1＝1，故所求的通项公式为bn＝2－12n－1.(2)由(1)知an＝2n－n2n－1，故Sn＝(2＋4＋…＋2n)－(1＋22＋322＋423＋…＋n2n－1)，设Tn＝1＋221＋322＋423＋…＋n2n－1，①12Tn＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n，②①－②得，12Tn＝1＋12＋122＋123＋…＋12n－1－n2n＝1－12n1－12－n2n＝2－22n－n2n，∴Tn＝4－n＋22n－1.∴Sn＝n(n＋1)＋n＋22n－1－4.