2014届高三数学二轮专题复习课后强化作业3-2数列的应用(Word有详解答案)

基本素能训练一、选择题1．(2013·重庆模拟)设{an}是等比数列，函数y＝x2－x－2013的两个零点是a2，a3，则a1a4＝()A．2013B．1C．－1D．－2013[答案]D[解析]由条件得，a1a4＝a2a3＝－2013.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，数列{bn}满足bn＝1anan＋1(n∈N*)，Tn是数列{bn}的前n项和，则T9等于()A.919B.1819C.2021D.940[答案]D[解析]∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，∴n＝1时，a1＝2；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，∴an＝2n(n∈N*)，∴bn＝1anan＋1＝12n2n＋2＝14(1n－1n＋1)，T9＝14[(1－12)＋(12－13)＋…＋(19－110)]＝14×(1－110)＝940.3．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝32＋f(x)(x∈R)，且f(1)＝52，则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为()A．305B．315C．325D．335[答案]D[解析]∵f(1)＝52，f(2)＝32＋52，f(3)＝32＋32＋52，…，f(n)＝32＋f(n－1)，∴{f(n)}是以52为首项，32为公差的等差数列．∴S20＝20×52＋2020－12×32＝335.4．等差数列{an}中，a10，公差d0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是()[答案]C[解析]∵Sn＝na1＋nn－12d，∴Sn＝d2n2＋(a1－d2)n，又a10，公差d0，所以点(n，Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．[点评]可取特殊数列验证排除，如an＝3－n.5．(2013·成都市二诊)已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝π2.若函数f(x)＝sin2x＋2cos2x2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为()A．0B．－9C．9D．1[答案]C[解析]据已知得2an＋1＝an＋an＋2，即数列{an}为等差数列，又f(x)＝sin2x＋2×1＋cosx2＝sin2x＋1＋cosx，因为a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，故cosa1＋cosa9＝cosa2＋cosa8＝…＝cosa5＝0，又2a1＋2a9＝2a2＋2a8＝…＝4a5＝2π，故sin2a1＋sin2a9＝sin2a2＋sin2a8＝…＝sin2a5＝0，故数列{yn}的前9项之和为9，故选C.6．(2012·金华模拟)已知an＝32n－11，数列{an}的前n项和为Sn，关于an及Sn的叙述正确的是()A．an与Sn都有最大值B．an与Sn都没有最大值C．an与Sn都有最小值D．an与Sn都没有最小值[答案]C[解析]画出an＝32n－11的图象，点(n，an)为函数y＝32x－11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S5最小，a5最小，a6最大二、填空题7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(m)．[答案]2000[解析]设放在第x个坑边，则S＝20(|x－1|＋|x－2|＋…＋|20－x|)由式子的对称性讨论，当x＝10或11时，S＝2000.当x＝9或12时，S＝20×102＝2040，…，当x＝1或19时，S＝3800.∴Smin＝2000(m)．8．(2013·重庆理，12)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1、a2、a5成等比数列，则S8＝________.[答案]64[解析]设等差数列{an}的公差为d，∵a22＝a1a5，∴(1＋d)2＝1×(1＋4d)，即d2＝2d，∵d≠0，∴d＝2，∴S8＝8×1＋8×72×2＝64.三、解答题9．(2013·天津理，19)已知首项为32的等比数列{an}不是．．递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－1Sn(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．[解析](1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝a5a3＝14.又{an}不是递减数列且a1＝32，所以q＝－12.故等比数列{an}的通项公式为an＝32×(－12)n－1＝(－1)n－1·32n.(2)由(1)得Sn＝1－(－12)n＝1＋12n，n为奇数，1－12n，n为偶数.当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn≤S1＝32，故0Sn－1Sn≤S1－1S1＝32－23＝56.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以34＝S2≤Sn1，故0Sn－1Sn≥S2－1S2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N*，总有－712≤Sn－1Sn≤56.所以数列{Tn}最大项的值为56，最小项的值为－712.10．(2013·呼和浩特市二调)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝－32，求数列{n·an}的前n项和Tn.[解析](1)由已知得2S3＝S1＋S2，∴2(a1＋a2＋a3)＝a1＋(a1＋a2)，∴a2＋2a3＝0，an≠0，∴1＋2q＝0，∴q＝－12.(2)∵a1－a3＝a1(1－q2)＝a1(1－14)＝34a1＝－32，∴a1＝－2，∴an＝(－2)·(－12)n－1＝(－12)n－2，∴nan＝n(－12)n－2.∴Tn＝1·(－12)－1＋2·(－12)0＋3·(－12)1＋…＋n·(－12)n－2，①∴－12Tn＝1·(－12)0＋2·(－12)1＋3·(－12)2＋…＋n·(－12)n－1，②①－②得32Tn＝－2＋[(－12)0＋(－12)1＋(－12)2＋…＋(－12)n－2]－n·(－12)n－1＝－43－(－12)n－1(23＋n)，∴Tn＝－89－(－12)n－1(49＋23n).能力提高训练一、选择题1．(文)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于()A．n(2n＋3)B．n(n＋4)C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)[答案]A[解析]设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)⇒k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋(2×6×1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.(理)已知数列{an}是等比数列，且每一项都是正数，若a1，a49是2x2－7x＋6＝0的两个根，则a1·a2·a25·a48·a49的值为()A.212B．93C．±93D．35[答案]B[解析]∵{an}是等比数列，且a1，a49是方程2x2－7x＋6＝0的两根，∴a1·a49＝a225＝3.而an0，∴a25＝3.∴a1·a2·a25·a48·a49＝a525＝(3)5＝93，故选B.2．(2013·辽宁文，4)下面是关于公差d0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列{ann}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4[答案]D[解析]例如数列－2，－1,0,1,2，…，则1×a1＝2×a2，排除p2，如数列1,2,3，…，则ann＝1，排除p3，故选D.3．已知函数f(x)＝log2x，等比数列{an}的首项a10，公比q＝2，若f(a2·a4·a6·a8·a10)＝25，则2f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2012)等于()A．21004×2009B．21005×2009C．21005×2011D．21006×2011[答案]D[解析]f(a2·a4·a6·a8·a10)＝log2(a2·a4·a6·a8·a10)＝log2(a51q25)＝25，即a51·q25＝225，又a10，q＝2，故得到a1＝1.2f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2012)＝2f(a1)·2f(a2)·…·2f(a2012)＝2log2a1·2log2a2·…·2log2a2012＝a1·a2·…·a2012＝a20121·q1＋2＋…＋2011＝12012×22011×1＋20112＝21006×2011.故选D.4．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝12n(n＋1)(2n＋1)t，但如果年产量超过150t，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()A．5年B．6年C．7年D．8年[答案]C[解析]本题以实际应用题为背景考查数列中Sn与an的关系．由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150⇒n≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2;②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④[答案]C[解析]不妨设an＝2n，①∵f(x)＝x2，∴f(an)＝a2n＝4n，∴①满足；②∵f(x)＝2x，∴f(an)＝2an＝22n，令bn＝f(an)，显然bn＋1bn＝22n＋122n＝22n＋1－2n＝22n，∴②不满足，排除A、D；④∵f(x)＝ln|x|，∴f(an)＝ln|an|＝ln2n＝nln2，显然f(an)是等差数列，④不满足，排除B，故选C.6．(2013·福建理，6)阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是()A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和[答案]A[解析]由框图结合k＝10可知此框图进行了10次运算，结果为1＋2＋4＋9＋…＋29，故选A.二、填空题7．函数y＝x2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.[答案]21[解析]y′＝2x，∴切线斜率k＝2ak，切线方程y－a2k＝2ak(x－ak)，令y＝0得x＝12ak，∴ak＋1＝12ak，又a1＝16，∴an＝16×(12)n－1＝25－n，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.8．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列{anan＋1an＋4}的最大项的值为________．[答案]19[解析]∵a⊥b，∴a·b＝2Sn－n(n＋1)＝0，∴Sn＝nn＋12，∴an＝n，∴anan＋1·an＋4＝nn＋1n＋4＝1n＋4n＋5，当n＝2时，n＋4n取最小值4，此时anan＋1an＋4取到最大值19.三、解答题9．(2013·福建文，17)已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5a1a9，求a1的取值范围．[解析](1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列．所以a21＝1×(