2014届高三数学大一轮复习9.5椭圆教案理新人教A版

1§9.5椭圆2014高考会这样考1.考查椭圆的定义及应用；2.考查椭圆的方程、几何性质；3.考查直线与椭圆的位置关系．复习备考要这样做1.熟练掌握椭圆的定义、几何性质；2.会利用定义法、待定系数法求椭圆方程；3.重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质——用代数方法求解几何问题．1．椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)2a，b，c的关系c2＝a2－b2[难点正本疑点清源]1．椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程x2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔mn0，椭圆的焦点在y轴上⇔0mn.2．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0e1)．3．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．1．若椭圆x216＋y2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为________．答案43解析∵点(－2，3)在椭圆上，∴416＋3b2＝1，即b2＝4，∴c2＝16－4＝12，故2c＝43.2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是__________．答案(0,1)解析将椭圆方程化为x22＋y22k＝1，∵焦点在y轴上，∴2k2，即k1，又k0，∴0k1.3．已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m的值是()A.23B.43C.53D.83答案D解析由题意知a2＝m，b2＝2，∴c2＝m－2.∵e＝12，∴c2a2＝14，∴m－2m＝14，∴m＝83.4．已知F1，F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6B．5C．4D．33答案A解析根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.5．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为()A.2－22B.22－12C.3－1D.2－1答案D解析依题意有P(c,2c)，点P在椭圆上，所以有c2a2＋c2b2＝1，整理得b2c2＋4a2c2＝a2b2，又因为b2＝a2－c2，代入得c4－6a2c2＋a4＝0，即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－22(3＋22舍去)，从而e＝2－1.题型一求椭圆的标准方程例1(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的标准方程为____________；(2)(2011·课标全国)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．思维启迪：根据椭圆的定义和几何性质确定椭圆的基本量．答案(1)x212＋y29＝1或x29＋y212＝1(2)x216＋y28＝1解析(1)由已知a＝2c，a－c＝3，∴a＝23，c＝3.从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为4x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.5(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由e＝22知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.探究提高求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)的形式．已知F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，OP∥AB，PF1⊥x轴，|F1A|＝10＋5，则此椭圆的方程是____________．答案x210＋y25＝1解析由于直线AB的斜率为－ba，故OP的斜率为－ba，直线OP的方程为y＝－bax.与椭圆方程x2a2＋y2b2＝1联立，解得x＝±22a.因为PF1⊥x轴，所以x＝－22a，从而－22a＝－c，即a＝2c.又|F1A|＝a＋c＝10＋5，故2c＋c＝10＋5，解得c＝5，从而a＝10.所以所求的椭圆方程为x210＋y25＝1.题型二椭圆的几何性质例2已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．思维启迪：(1)在△PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|＋|PF2|＝2a，可求|PF1|·|PF2|与a，c的关系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求出e的范围；(2)利用S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin60°可证．6(1)解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋n22＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．∴c2a2≥14，即e≥12.又0e1，∴e的取值范围是12，1.(2)证明由(1)知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．探究提高(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关系．(2)对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式⇔PF1|＋|PF22＝a24c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθS△＝12|PF1||PF2|sinθ.(2012·安徽)如图，F1、F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．解(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝12.(2)方法一a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－3(x－c)，7将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B85c，－335c，所以|AB|＝1＋3·85c－0＝165c.由S△AF1B＝12|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝12a·165c·32＝235a2＝403，解得a＝10，b＝53.方法二设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，t＝85a.由S△AF1B＝12a·85a·32＝235a2＝403知，a＝10，b＝53.题型三直线与椭圆的位置关系例3(2011·北京)已知椭圆G：x24＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．思维启迪：对于直线和椭圆的交点问题，一般要转化为方程组解的问题，充分体现数形结合思想．解(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝a2－b2＝3.所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)．离心率为e＝ca＝32.(2)由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为(1，32)，(1，－32)．此时|AB|＝3.当m＝－1时，同理可得|AB|＝3.当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由y＝kx－m，x24＋y2＝1，8得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝8k2m1＋4k2，x1x2＝4k2m2－41＋4k2.又由l与圆x2＋y2＝1相切，得|km|k2＋1＝1，即m2k2＝k2＋1.所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝＋k2x1＋x22－4x1x2]＝＋k264k4m2＋4k22－k2m2－1＋4k2＝43|m|m2＋3.由于当m＝±1时，|AB|＝3，所以|AB|＝43|m|m2＋3，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝43|m|m2＋3＝43|m|＋3|m|≤2，且当m＝±3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.探究提高(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．设F1、F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．解(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4.又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43.(2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝1－b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点的坐标满足方程组9y＝x＋c，x2＋y2b2＝1.化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则x1＋x2＝－2c1＋b2，x1x2＝1－2b21＋b2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|，即43＝2|x2－x1|，则89＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－b2＋b22－－2b21＋b2＝8b4＋b22，解得b＝22b＝－22不合题意，故舍去.步骤表述要规范典例：(12分)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝58|AB|，求椭圆的方程．审题视角第(1)问由|PF2|＝|F1F2|建立关于a、c的方程；第(2)问可以求出点A、B的坐标或利用根与系数的关系求|AB|均可，再利用圆的知识求解．规范解答解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以a－c2＋b2＝2c.整理得2(ca)2＋ca－1＝0，得ca＝－1(舍)，或ca＝12.所以e＝12.[4分](2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．A，B两点的坐标满足方