20160410拟合与插值

拟合与插值北京科技大学数学实验曲线拟合插值已知平面上若干个点（xi,yi)i=1,…n,求一个较简单的函数（曲线）y=f(x),使f(x)尽可能的靠近数据点，在某种意义下达到最优。f(x)称为拟合函数。+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)i------最小二乘法最小nii12曲线拟合p=polyfit（x，y，n）多项式数据拟合功能：将给定向量x，y对应的（x[i]，y[i]）作为数据点，拟合成n次多项式；向量x，y具有相同的维数；p为多项式的系数向量。多项式的拟合y=a1xn+a2xn-1+……...+anx+an+1p=[a1,a2,...,an,an+1]poly2str(p,‘x’)将多项式表示成习惯的形式p是多项式系数，字符‘x’为自变量polyval（p，X）按数组规则计算X处多项式的值功能：计算多项式p的变量在点阵x处的值；X可以为向量或矩阵，计算结果是与X同维的向量或矩阵。x=1:.1:2;y=[2.1,3.2,2.1,2.5,3.2,3.5,3.4,4.1,4.7,5.0,4.8];p2=polyfit(x,y,2)%多项式拟合,次数是2,p2为拟合多项式的系数p3=polyfit(x,y,3);p7=polyfit(x,y,7);disp(‘二次拟合函数'),f2=poly2str(p2,'x')disp(‘三次拟合函数'),f3=poly2str(p3,'x');disp(‘七次拟合函数'),f7=poly2str(p7,'x');p2=1.3869-1.26082.141二次拟合函数f2=1.3869x^2-1.2608x+2.1418x1=1:.01:2;y2=polyval(p2,x1);%多项式p2在x1处的值y3=polyval(p3,x1);y7=polyval(p7,x1);plot(x,y,'rp',x1,y2,'--',x1,y3,'k-.',x1,y7);911.11.21.31.41.51.61.71.81.9222.533.544.555.5拟合点二次拟合三次拟合七次拟合练习：用多项式拟合余弦函数y=cosx。niheexam1指数增长模型0()ertxtxr=？年，x0=？（1790-1900）指数增长模型r=？，x0=？（1790-2000）列表、画图r=0.2022/10年，x0=6.0450（1790-1900）模型的参数估计、检验和预报指数增长模型年实际人口计算人口1计算人口217903.94.26.018005.35.57.418107.27.29.118209.69.511.1183012.912.513.6………1990251.4344.82000422.105101520250100200300400500指数增长模型r=0.2743/10年，x0=4.1884（1790-2000）阻滞增长模型d(1)dmxxrxtx阻滞增长模型r=？年，xm=？验证、列表、画图用模型计算2000年美国人口]/)1990(1)[1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx误差约2.5%与实际数据比较(2000年281.4)=274.5模型的参数估计、检验和预报•为作模型检验在参数估计时未用2000年实际数据加入2000年数据重估模型参数r=0.2490，xm=434.0x(2010)=306.0•预报美国2010年人口美国人口普查局2010年12月21日公布：截止到2010年4月1日美国总人口为3.087亿.预报误差不到1%！例1测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：身高143145146147149150153154155156157158159160162164腿长8885889192939395969897969899100102以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi）在平面直角坐标系上标出.1401451501551601658486889092949698100102散点图xy10求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)回归系数的区间估计残差用于检验回归模型的统计量，有三个数值：相关系数R2、F值、与F对应的概率p置信区间显著性水平（缺省时为0.05）相关系数R2越接近1，说明回归方程越显著；FF1-α（k，n-k-1）时拒绝H0，F越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率p时拒绝H0，回归模型成立.得到的回归模型是否具有实用价值，一般来说需要经过假设检验才能确定。1.检查置信区间，如果包括原点，一般而言自变量对因变量的影响不是太显著的；2.R可以用来刻画模型有效性的量；R2越接近1，说明模型越有效；R2越接近0，说明模型越无效。3.F是检验统计量。一般F的值大于1.R^2越接近1，说明模型越有效；R^2越接近0，说明模型越无效。4.p是检验统计量F的概率。p=P(Fc)的概率；p的大小可以显式自变量对因变量影响的显著性。p越接近1，说明影响不显著；p越接近0，说明影响显著。解：1、输入数据：x=[143145146147149150153154155156157158159160162164]';X=[ones(16,1)x];Y=[8885889192939395969897969899100102]';2、回归分析及检验：[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)b,bint,stats得结果：b=bint=-16.0730-33.70711.56120.71940.60470.8340stats=0.9282180.95310.0000即7194.0ˆ,073.16ˆ10；0ˆ的置信区间为[-33.7017，1.5612],1ˆ的置信区间为[0.6047,0.834];r2=0.9282,F=180.9531,p=0.0000p0.05,可知回归模型y=-16.073+0.7194x成立.可饮用水量变化规律的预测12(),()tt12()()yatbtc12(),(),1,2,,10kkkttyk总水流量：9205,9513,9171,13127,9513,9924,8892,10210,9980,9405可饮用水比例与排污量和水流量的关系式。过去10年：总排污量174,179,183,189,207,234,220,256,270,285水期枯水期丰水期文水年系数abcabcabc全流域-0.1405.001889.0214-0.1405.001889.0214-0.1405.001889.0214干流-0.3123.0036112.0766-0.3123.0036112.0766-0.3123.0036112.0766支流-0.0419.000576.4087-0.0419.000576.4087-0.0419.000576.4087各个水期的全流域、干流和支流可饮用水的百分比变化规律：12()(),1,2,3kkkkiiiiyatbtcik3.未来10年的水质变化规律预测由未来10年的排污总量年度2005200620072008200920102011201220132014废水量294.4304.7315.5326.8338.5350.8363.6376.9390.6404.92()9894.1t12()(),1,2,3kkkkiiiiyatbtcik根据各水期的全流域、干流和支流可饮用水的百分比的变化模型未来10年的各水期可饮用水的百分比年份2005200620072008200920102011201220132014枯水期全流域64.1161.43958.91056.23953.70951.18048.50945.98043.45040.780干流53.34147.40741.78635.85230.23124.61018.67613.0557.4341.500支流69.08568.28967.53666.74065.98765.23364.43863.68562.93162.136丰水期全流域63.56759.94456.51252.88949.45746.02542.40338.97135.53931.916干流62.31257.32753.32748.71344.34239.97135.3530.98626.61522.001支流65.04062.22859.56556.75354.08951.42648.61445.95043.28740.475文水年全流域67.36264.53361.85259.02356.34253.66150.83248.15145.47142.641干流68.20964.70061.37757.86954.54551.22247.71444.39041.06737.559支流68.6966.76264.93563.00661.18059.35357.42455.59753.77051.842插值已知函数f(x),其函数形式可能很复杂，假如可以获得f(x)在区间[a,b]上的一组n+1个不同的点上的函数值求一个简单函数p(x)，使得：012naxxxxb(),0,1,2,,iiyfxin()0,1,2,,iipxyin并且用p(x)近似代替f(x),这就是插值问题。函数p(x)为函数f(x)的插值函数。(1)式称为插值条件。xi为插值结点，点x称为插值点。点x在插值区间内叫内插，否则叫外插。………..（1）p(x)f(x)x0x1x2x0y1y0y2对于被插函数f(x)和插值函数p(x)在节点xi处得函数值必然相等但在节点外p(x)的值可能就会偏离f(x)因此p(x)近似代替f(x)必然存在着误差整体误差的大小反映了插值函数的好坏为了使插值函数方便在计算机上运算，一般插值函数都使用多项式和有理函数。一维多项式插值yi=interp1（x，y，xi，method）功能：x,y是已知数据点；yi是插值点xi处的值；当输入的x是等间距时，可在插值方法method前加*，以提高处理速度。method表示不同的插值方法的字符串，有下面四种插值方法可选:‘nearest’：最近点插值，插值点处的值取与该插值点距离最近的数据点函数值；‘linear’：分段线性插值，用直线连接数据点，插值点的值取对应直线上的值；‘spline’：三次样条函数插值，该方法用三次样条曲线通过数据点，插值点处的值取对应曲线上的值；‘cubic’：分段三次Hermite插值，确定三次Hermite函数，根据该函数确定插值点的函数值。缺省时表示分段线性插值。x=0:6;y=cos(x);xi=0:.25:6;yi1=interp1(x,y,xi,'*nearest');yi2=interp1(x,y,xi,'*linear');yi3=interp1(x,y,xi,'*spline');yi4=interp1(x,y,xi,'*cubic');plot(x,y,'ro',xi,yi1,'--',xi,yi2,'-',xi,yi3,'k.-',xi,yi4,'m:')legend(‘原始数据’,‘最近点插值’,‘线性插值’,’样条插值‘,’立方插值’)例6-19：用以上4种方法对y=cosx在[0,6]上的一维插值效果进行比较。0123456-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81原始数据最近点插值线性插值样条插值立方插值二维多项式插值zi=interp2（x，y，z，xi，yi，method）功能：已知数据点（x,y,z），运用method指定的方法，计算插值点（xi,yi）处得函数值zi。method指定的方法同一维多项式插值。[x,y]=meshgrid(-2:.5:2)