2014届高考数学(文科)名师指导(原创题押题练练中提能)【专题7】函数与导数【2】及答案

京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班1．(定义新)设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在次不动点．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋52在区间[1,4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B.0，12C.12，＋∞D.－∞，122．(交汇新)已知函数f(x)＝x＋12＋sinxx2＋1，其导函数记为f′(x)，则f(2012)＋f′(2012)＋f(－2012)－f′(－2012)＝________.3．(背景新)设f1(x)＝cosx，定义fn＋1(x)为fn(x)的导数，即fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N*.若△ABC的内角A满足f1(A)＋f2(A)＋…＋f2013(A)＝0，则sinA的值是________．4．(交汇新)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bxx＜1，cex－1－1x≥1，在x＝0，x＝23处存在极值．(1)求实数a，b的值；(2)函数y＝f(x)的图象上存在两点A，B使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围；(3)当c＝e时，讨论关于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的实根个数．[历炼]京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班1．解析：设g(x)＝f(x)＋x，依题意，存在x∈[1,4]，使g(x)＝f(x)＋x＝ax2－2x－a＋52＝0.当x＝1时，g(1)＝12≠0；当x≠1时，由ax2－2x－a＋52＝0得a＝4x－52x2－1.记h(x)＝4x－52x2－1(1＜x≤4)，则由h′(x)＝－2x2＋5x－2x2－12＝0得x＝2或x＝12(舍去)．当x∈(1,2)时，h′(x)＞0；当x∈(2,4)时，h′(x)＜0，即函数h(x)在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x＝2时，h(x)取得最大值，最大值是h(2)＝12，故满足题意的实数a的取值范围是－∞，12，故选D.答案：D2．解析：由已知得f(x)＝1＋2x＋sinxx2＋1，则f′(x)＝2＋cosxx2＋1－2x＋sinx·2xx2＋12.令g(x)＝f(x)－1＝2x＋sinxx2＋1，显然g(x)为奇函数，f′(x)为偶函数，所以f′(2012)－f′(－2012)＝0，f(2012)＋f(－2012)＝g(2012)＋1＋g(－2012)＋1＝2，所以f(2012)＋f′(2012)＋f(－2012)－f′(－2012)＝2.答案：23．解析：∵f1(x)＝cosx，∴f2(x)＝[f1(x)]′＝－sinx，f3(x)＝[f2(x)]′＝－cosx，f4(x)＝[f3(x)]′＝sinx，f5(x)＝[f4(x)]′＝cosx，…，∴fn(x)＋fn＋1(x)＋fn＋2(x)＋fn＋3(x)＝0，∴f1(A)＋f2(A)＋…＋f2013(A)＝f2013(A)＝f1(A)＝cosA＝0.又A为△ABC的内角，∴sinA＝1.京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班答案：14．解：(1)当x＜1时，f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.因为函数f(x)在x＝0，x＝23处存在极值，所以f′0＝0，f′23＝0，解得a＝1，b＝0.(2)由(1)得f(x)＝－x3＋x2x＜1，cex－1－1x≥1.根据条件知A，B的横坐标互为相反数，不妨设A(－t，t3＋t2)，B(t，f(t))(t＞0)．若t＜1，则f(t)＝－t3＋t2.由∠AOB是直角得OA→·OB→＝0，即－t2＋(t3＋t2)(－t3＋t2)＝0，即t4－t2＋1＝0，此时无解．若t≥1，则f(t)＝c(et－1－1)．因为AB的中点在y轴上，且∠AOB是直角，所以B点不可能在x轴上，即t≠1.同理OA→·OB→＝0，即－t2＋(t3＋t2)·c(et－1－1)＝0，c＝1t＋1et－1－1.因为函数y＝(t＋1)(et－1－1)在t＞1上的值域是(0，＋∞)，所以实数c的取值范围是(0，＋∞)．(3)由方程f(x)＝kx，知kx＝－x3＋x2x＜1，ex－ex≥1.因为0一定是方程的根，所以仅就x≠0时进行研究：京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班方程等价于k＝－x2＋xx＜1且x≠0，ex－exx≥1.构造函数g(x)＝－x2＋xx＜1且x≠0，ex－exx≥1，对于x＜1且x≠0部分，函数g(x)＝－x2＋x的图象是开口向下的抛物线的一部分，当x＝12时取得最大值14，其值域是(－∞，0)∪0，14；对于x≥1部分，函数g(x)＝ex－ex，由g′(x)＝exx－1＋ex2＞0，知函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以，①当k＞14或k≤0时，方程f(x)＝kx有一个实根；②当k＝14时，方程f(x)＝kx有两个实根；③当0＜k＜14时，方程f(x)＝kx有三个实根.