2014届高考数学一轮必备考情分析学案3.4《定积分的概念与微积分基本定理》

3.4定积分的概念与微积分基本定理考情分析本部分主要有两种题型，一是定积分的计算，二是用定积分求平面图形的面积。高考中多以选择、填空的形式考查定积分的概念和计算以及曲边梯形面积的求法。基础知识1、定积分的定义：如果函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点01axx1iinxxxb将区间[,]ab等分成n个小区间，在每个小区间1[,]iixx上任取一点(1,2,)iin，当n时，和式1()niibafn无限接近某个常数，这个常数叫做函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记做：()bafxdx。记：()bafxdx=limn1()niibafn，,ab分别叫做积分下限和积分上限，区间[,]ab叫做积分区间。2、定积分几何意义：如果函数()fx在区间[,]ab上连续且恒有()0fx，那么定积分()bafxdx表示由直线,,0xaxby和曲线()yfx所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分分几何意义。3、定积分性质：(1)()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb(2)()()(bbaakfxdxkfxdxk为常数）1212(3)[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx4、微积分基本定理一般地，如果函数()fx是区间[,]ab上的连续函数，并且()()Fxfx，那么()()()bafxdxFaFb注意事项1.定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．2.(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；[来源:学科网](3)积分可分段进行．3.由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．题型一定积分的计算【例1】设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈1，2]，则02f(x)dx等于()A.34B.45C.56D.不存在答案：C解析：本题画图求解，更为清晰，如图，02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx[来源:学科网ZXXK]＝13x310＋(2x－12x2)21＝13＋(4－2－2＋12)＝56.【变式1】若1a(2x＋1x)dx＝3＋ln2(a1)，则a的值是()A.2B.3[来源:学科网]C.4D.6答案：A解析：∵1a(2x＋1x)dx＝(x2＋lnx)a1＝a2＋lna－(12＋ln1)＝a2－1＋lna.且1a(2x＋1x)dx＝3＋ln2.∴a2－1＋lna＝3＋ln2，∴a＝2，故选A.题型二利用定积分求面积【例2】如图，已知幂函数y＝xa的图象过点P(2,4)，则图中阴影部分的面积为()A.165B.83C.43D.23答案：B解析：将(2,4)代入y＝xa，得a＝2，所以阴影部分的面积S＝02x2dx＝83，选B项．【变式2】求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．解由y＝x，y＝2－x，得交点A(1,1)；由y＝2－xy＝－13x得交点B(3，－1)．故所求面积S＝01x＋13xdx＋132－x＋13xdx＝23x32＋16x210＋2x－13x231＝23＋16＋43＝136.题型三定积分的应用【例3】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图，直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f(x)．解：由f(0)＝0得c＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由f′(0)＝0得b＝0，∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，由∫－a0[－f(x)]dx＝274得a＝－3.∴f(x)＝x3－3x2.【变式3】已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()．A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面解析可观察出曲线v甲，直线t＝t1与t轴围成的面积大于曲线v乙，直线t＝t1与t轴围成的面积，故选A.答案A巩固提高一、选择题1.曲线y＝x2－2x与直线x＋y＝0所围成的封闭图形的面积为()A.23B.56C.13D.16答案：D解析：如图，A(1，－1)，故所求面积为S＝01(－x－x2＋2x)dx＝(12x2－13x3)10＝12－13＝16.2.。曲线y＝sinx(－π≤x≤2π)与x轴所围成的封闭区域的面积为()A.0B.2C.－2D.6答案：D解析：先求[0，π]上的面积：|0πsinxdx|＝|－cosx|π0|＝2.因为三块区域的面积相等，都是2，故总面积为6.3由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.16B.12C.23D.76答案：A解析：由y＝x2，y＝x3，得x＝0或x＝1，由图易知封闭图形的面积＝201(x2－x3)dx＝213－14＝16，故选A.4.如图，过点A(6,4)作曲线f(x)＝4x－8的切线l；[来源:学科网ZXXK](1)求切线l的方程；[来源:学科网](2)求切线l、x轴及曲线f(x)＝4x－8所围成的封闭图形的面积S.解：(1)∵f′(x)＝1x－2，∴f′(6)＝12，∴切线l的方程为：y－4＝12(x－6)，即x－2y＋2＝0.(2)令f(x)＝0，则x＝2，令y＝12x＋1＝0，则x＝－2.∴S＝6－2(12x＋1)dx－264x－8dx＝(14x2＋x)6－2－16(4x－8)3262＝163.