2014届高考数学一轮必备考情分析学案4.3《三角函数的图象与性质》

4.3三角函数的图象与性质考情分析高考中，一般通过两种方式考查函数图象，一是识图，根据所给图象确定函数解析式或相应性质，二是利用图象探究解题思路或问题答案，即利用数形结合思想。基础知识[来源:学。科。网]1、平移变换：（1）水平平移：()(0)yfxaa的图象，可由()yfx的图象向左（+）或向右（-）平移a个单位得到的。（2）竖直平移：()(0)yfxbb的图象，可由()yfx的图象向上（+）平移或向下（-）平移b个单位。2、对称变换：（1）()()yfxyfx与的图象关于y轴对称（2）()()yfxyfx与的图象关于x轴对称（3）()()yfxyfx与的图象关于原点对称（4）1()()yfxyfx与的图象关于直线yx对称（5）要得到()yfx的图象，可将()yfx的图象在x轴下方的部分图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变（6）要得到()yfx的图象，可将(),0yfxx的部分做出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，做出0x的图象。3、伸缩变换（1）纵向伸缩：()(0)yAfxA的图象，可将()yfx图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到。（2）横向伸缩：()(0)yfaxa的图象，可将()yfx图象上所有点的横坐标变为原来的1a纵坐标不变而得到。间上的值域(最值)问题．题型一三角函数的定义域与值域[来源:学科网]【例1】已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，12]，则b－a的值不可能是()A.π3B.2π3C.πD.4π3答案：A解析：画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为[2π3，4π3]．【变式1】(1)求函数y＝sinx－cosx的定义域．(2)已知函数f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4·sinx＋π4，求函数f(x)在区间－π12，π2上的最大值与最小值．解(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.(2)由题意得：f(x)＝12cos2x＋32sin2x＋(sinx－cosx)·(sinx＋cosx)＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－cos2x＝12cos2x＋32sin2x－cos2x＝sin2x－π6.又x∈－π12，π2，∴2x－π6∈－π3，5π6，∴sin2x－π6∈－32，1.故当x＝π3时，f(x)取最大值1；当x＝－π12时，f(x)取最小值－32.题型二三角函数的奇偶性与周期性【例2】若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A.π2B.2π3C.3π2D.5π3答案：C解析：∵f(x)为偶函数，关于y轴对称，x＝0为其对称轴．∴x＋φ3＝π2＋kπ，令x＝0，φ＝3kπ＋32π，当k＝0时，φ＝32π，选C项．【变式2】已知函数f(x)＝(sinx－cosx)sinx，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．[来源:学科网]解析由f(x)＝(sinx－cosx)sinx＝sin2x－sinxcosx＝1－cos2x2－12sin2x＝－22sin2x＋π4＋12.∴最小正周期为π.答案π题型三三角函数的单调性【例3】若函数y＝2cosωx在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是()[来源:Z&xx&k.Com]A.2B.12C.3D.13答案：B解析：由y＝2cosωx在[0，23π]上是递减的，且有最小值为1，则有f(23π)＝1，即2×cos(ω×23π)＝1⇒cos2π3ω＝12.检验各数据，得出B项符合．【变式3】函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调减区间为______．解析f(x)＝sin－2x＋π3＝－sin2x－π3，它的减区间是y＝sin2x－π3的增区间．[来源:Z_xx_k.Com]由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得：kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所求函数的减区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．答案kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)题型四三角函数的对称性【例4】►(1)函数y＝cos2x＋π3图象的对称轴方程可能是()．A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π12(2)若0＜α＜π2，g(x)＝sin2x＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．解析(1)令2x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ2－π6(k∈Z)，令k＝0得该函数的一条对称轴为x＝－π6.本题也可用代入验证法来解．(2)要使g(x)＝cos2x＋π4＋α为偶函数，则须π4＋α＝kπ＋π2，k∈Z，α＝kπ＋π4，k∈Z，∵0＜α＜π2，∴α＝π4.答案(1)A(2)π4【变式4】(1)函数y＝2sin(3x＋φ)||φ＜π2的一条对称轴为x＝π12，则φ＝________.(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.解析(1)由y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋π2(k∈Z)，即3×π12＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，得φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|＜π2，∴k＝0，故φ＝π4.(2)由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，∴φ＝kπ＋π2，k∈Z.答案(1)π4(2)kπ＋π2，k∈Z巩固提高1.[2013·广州一测]如果函数f(x)＝sin(ωx＋π6)(ω0)的两个相邻零点之间的距离为π12，则ω的值为()A.3B.6C.12D.24答案：C解析：T＝π6，ω＝2πT＝12，选C项．2.函数y＝tan(π4x－π2)的部分图象如图所示，则(OB→－OA→)·OB→＝()A.－4B.4C.－2D.2答案：B解析：容易求得点A(2,0)，B(3,1)，则(OB→－OA→)·OB→＝(1,1)·(3,1)＝4.3.函数f(x)＝cos(2x＋3π2)(x∈R)，下面结论不正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)的对称中心是(π2，0)C.函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称D.函数f(x)是偶函数答案：D解析：∵f(x)＝cos(2x＋3π2)＝sin2x(x∈R)，∴最小正周期T＝2π2＝π，选项A正确；由2x＝kπ得x＝kπ2，k∈Z，∴函数f(x)的对称中心为(kπ2，0)，∴取k＝1得选项B正确；由2x＝kπ＋π2得x＝kπ2＋π4，k∈Z，∴取k＝0得函数f(x)的对称轴为x＝π4，∴选项C正确；∵f(x)＝sin2x(x∈R)，∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，∴选项D不正确．4.若函数f(x)＝2tan(kx＋π3)的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为________．答案：2或3解析：因为T＝πk，所以1πk2，即π2kπ，而k为自然数，所以k＝2或3.5.函数f(x)＝cos(2x－π4)＋3在[－π2，π2]上的单调递减区间为________．答案：[－π2，－3π8]∪[π8，π2]解析：由2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8，k∈Z.∵x∈[－π2，π2]，∴取k＝0得f(x)在[－π2，π2]上的单调递减区间为[π8，π2]；取k＝－1得f(x)在[－π2，π2]上的单调递减区间为[－π2，－3π8]．∴f(x)在[－π2，π2]上的单调递减区间为[－π2，－3π8]和[π8，π2]．6.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案：π6解析：由已知得3cos(2×4π3＋φ)＝0，即cos(2π3＋φ)＝0，∴φ＋2π3＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ－π6，∴|φ|min＝π6.