2014届高考数学一轮必备考情分析学案71《不等关系与不等式》

7.1不等关系与不等式考情分析不等式的基本性质是高考考查的重点，不等关系常伴随函数、数列、几何或实际问题进行考查，，高考中考查不等式的性质多以选择、填空形式出现。基础知识不等式的性质及其推论：1．性质1：abba；（对称性）2．性质2：,abbcac；（传递性）3．性质3：abacbc；（同加保序性）推论1：acbabc；（移项法则）推论2：,abcdacbd；（同向相加保序性）4．性质4:,0abcacbc；（乘正保序性）,0abcacbc；（乘负反序性）推论1：0,0abcdacbd；（正值同向相乘保序性）推论2：11,0ababab；（同号取倒数反序性）推论3：0,nnabnNab；（非负乘方保序性）推论4：0,nnabnNab；（非负开方保序性）[来源:Zxxk.Com]推论5：当0,0ab时，1;1;1aaaabababbbb。（商式比较法）注意事项1.作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．2.待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．3.(1)倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；②a＜0＜b⇒1a＜1b；③a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a.(2)若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：ba＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)；②假分数的性质：ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．题型一比较大小【例1】已知a0，－1b0，那么下列不等式成立的是()A.aabab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a答案：D解析：∵a0，－1b0，∴ab2－a＝a(b2－1)0，ab－ab2＝ab(1－b)0.∴abab2a.[来源:学科网ZXXK]也可利用特殊值法，取a＝－2，b＝－12，则ab2＝－12，ab＝1，从而abab2a.故应选D.【变式1】已知a，b∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是()．A.ab＞1B．a2＞b2C．lg(a－b)＞0D.12a＜12b解析令a＝2，b＝－1，则a＞b，ab＝－2，故ab＞1不成立，排除A；令a＝1，b＝－2，则a2＝1，b2＝4，故a2＞b2不成立，排除B；当a－b在区间(0,1)内时，lg(a－b)＜0，排除C；f(x)＝12x在R上是减函数，∵a＞b，∴f(a)＜f(b)．答案D题型二不等式的性质【例2】若ab0，则下列不等式中一定成立的是()A.a＋1bb＋1aB.bab＋1a＋1C.a－1bb－1aD.2a＋ba＋2bab答案：A解析：取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f(x)＝x－1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当ab0时，f(a)f(b)必定成立，但g(a)g(b)未必成立，这样，a－1ab－1b⇔a＋1bb＋1a.【变式2】已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③ca＞db.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是()．A．0B．1C．2D．3解析命题1：若ab＞0，ca＞db，则bc＞ad；命题2：若ab＞0，bc＞ad，则ca＞db；命题3：若ca＞db，bc＞ad，则ab＞0.答案D题型三不等式性质的应用【例3】已知x，y为正实数，满足1≤lgxy≤2,3≤lgxy≤4，求lg(x4y2)的取值范围．解：设a＝lgx，b＝lgy，则lg(xy)＝a＋b，lgxy＝a－b，lg(x4y2)＝4a＋2b，设4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，∴m＋n＝4，m－n＝2.解得m＝3，n＝1.又∵3≤3(a＋b)≤6,3≤a－b≤4.∴6≤4a＋2b≤10.即lg(x4y2)的取值范围为[6,10]．【变式3】若α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.由x＋y＝1，x＋2y＝3，解得x＝－1，y＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.题型四利用不等式的性质证明简单不等式【例4】已知a，b，x，y∈(0，＋∞)且1a1b，xy，求证：xx＋ayy＋b.证明：∵xx＋a－yy＋b＝bx－ayx＋ay＋b，又∵1a1b且a，b∈(0，＋∞)，[来源:Z*xx*k.Com]∴ba0，又∵xy0，∴bxay0，∴bx－ayx＋ay＋b0，∴xx＋ayy＋b.【变式4】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，[来源:学*科*网]求证：ea－c2＞eb－d2.证明∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.∴0＜1a－c2＜1b－d2.又∵e＜0，∴ea－c2＞eb－d2.重难点突破【例5】给出下列条件：①1ab；②0ab1；③0a1b.其中，能使logb1bloga1blogab成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)答案：②解析：∵logb1b＝－1，若1ab，则1b1a1b，∴loga1bloga1a＝－1，故条件①不可以；若0ab1，则b11b1a，∴logabloga1bloga1a＝－1＝logb1b，故条件②可以；若0a1b，则01b1，∴loga1b0，logab0，条件③不可以．巩固提高1.若ab0，则下列不等式不能成立的是()A.1a1bB.2a2bC.|a||b|D.(12)a(12)b答案：B解析：由ab0知ab0，因此a·1abb·1ab，即1a1b成立；由ab0，得－a－b0，因此|a||b|0成立；又y＝(12)x是减函数，所以(12)a(12)b成立．2.“a＋cb＋d”是“ab且cd”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：易得ab且cd时必有a＋cb＋d.若a＋cb＋d时，则可能有ad且cb，选A.3.在所给的四个条件：①b0a；②0ab；③a0b；④ab0中，能推出1a1b成立的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解析：1a1b成立，即b－aab0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．4.设a，b∈R，若b－|a|0，则下列不等式中正确的是()[来源:Zxxk.Com]A.a－b0B.a＋b0C.a2－b20D.a3＋b30答案：B解析：由b|a|，可得－bab.由ab，可得a－b0，所以选项A错误．由－ba，可得a＋b0，所以选项B正确．由b|a|，两边平方得b2a2，则a2－b20，所以选项C错误，由－ba，可得－b3a3，则a3＋b30，所以选项D错误，故选B.5.若1a3，－4b2，则a－|b|的取值范围是________．答案：(－3,3)解析：∵－4b2，∴0≤|b|4，∴－4－|b|≤0.又∵1a3，∴－3a－|b|3.