2016中考复习专题动态几何问题(教师版)

千教万教，教人求真；千学万学，学做真人。----成都学苑教育初三·周末培优班·专业·优质自己选择的路，跪着也要走完。------学苑教育1/24中考专题：动态几何问题知识点常用解法动点问题中的特殊图形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题动点问题中的计算问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题动点问题的函数图象问题一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题☞考点归纳归纳1：动点中的特殊图形基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质．归纳2：动点问题中的计算问题基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题．基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容．注意问题归纳：在计算动点问题的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合．归纳3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合．基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线．注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势．千教万教，教人求真；千学万学，学做真人。----成都学苑教育初三·周末培优班·专业·优质自己选择的路，跪着也要走完。------学苑教育2/24一、试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。三、题型精讲（一）、点的运动【例1】（2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题分析：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；故选B．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数；3．分类讨论；4．压轴题．千教万教，教人求真；千学万学，学做真人。----成都学苑教育初三·周末培优班·专业·优质自己选择的路，跪着也要走完。------学苑教育3/24【例2】已知24ABAD，，90DAB，ADBC∥（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BEx，ABM△的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以AND，，为顶点的三角形与BME△相似，求线段BE的长．【思路点拨】（1）取AB中点H，联结MH；（2）先求出DE;（3）分二种情况讨论。解析：（上海市）（1）取AB中点H，联结MH，M为DE的中点，MHBE∥，1()2MHBEAD．又ABBE，MHAB．12ABMSABMH△，得12(0)2yxx；（2）由已知得22(4)2DEx．以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，1122MHABDE，即2211(4)2(4)222xx．解得43x，即线段BE的长为43；（3）由已知，以AND，，为顶点的三角形与BME△相似，又易证得DAMEBM．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADNBEM；②ADBBME．①当ADNBEM时，ADBE∥，ADNDBE．DBEBEM．DBDE，易得2BEAD．得8BE；②当ADBBME时，ADBE∥，ADBDBE．DBEBME．又BEDMEB，BEDMEB△∽△．DEBEBEEM，即2BEEMDE，得2222212(4)2(4)2xxx．解得12x，210x（舍去）．即线段BE的长为2．综上所述，所求线段BE的长为8或2．BADMECBADC备用图千教万教，教人求真；千学万学，学做真人。----成都学苑教育初三·周末培优班·专业·优质自己选择的路，跪着也要走完。------学苑教育4/24二、线的运动【例3】（2015荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】试题分析：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=12BP•BQ，解y=12•3x•x=232x；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=12BQ•BC，解y=12•x•3=32x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=12AP•BQ，解y=12•（9﹣3x）•x=29322xx；故D选项错误．故选C．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数．【例4】如图，已知直线l的解析式为y＝－x＋6，它与x轴，y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l．直线n与x轴，y轴分别相交于C，D两点．线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S．当直线n与直线l重合时，运动结束．(1)求A，B两点的坐标．(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．(3)直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？千教万教，教人求真；千学万学，学做真人。----成都学苑教育初三·周末培优班·专业·优质自己选择的路，跪着也要走完。------学苑教育5/24②是否存在这样的T值，使得半圆面积S＝12S梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。【思路】(2)用勾股定理求出CD的长（用t表示），即可求出S与t的函数关系式；(3)半圆面积S＝12S梯形ABCD，可表示为关于t的方程，是否存在t值，即方程是否有解．【失分点】将是否存在t值转化为方程是否有解的问题，是本题的难点和失分点．【反思】这是一道典型的“线段运动型”的动态几何问题，线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化（如三角形、平行四边形等），问题常以求图形面积的最值，或者探究运动过程中是否存某一特殊位置的形式出现．解决此类问题时，一是要选择适当的求图形面积的方法．若是规则图形，可以直接千教万教，教人求真；千学万学，学做真人。----成都学苑教育初三·周末培优班·专业·优质自己选择的路，跪着也要走完。------学苑教育6/24选择面积公式计算；若是不规则图形，一般情况下选择割补法，通过“割补”将不规则图形转化为规则图形解决，二是要根据线段的运动变化过程，探究其他图形的运动变化规律．有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形，确定线段运动变化的不同阶段，从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置，三、图形运动类【例5】（2015三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______．【答案】1．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．动点型；3．最值问题；4．综合题．【例6】如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：AHAD＝EFBC；（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．【答案】解：（1）∵四边形EFPQ是矩形，∴EF∥QP．∴△AEF∽△ABC．又∵AD⊥BC，∴AH⊥EF．千教万教，教人求真；千学万学，学做真人。----成都学苑教育初三·周末培优班·专业·优质自己选择的路，跪着也要走完。------学苑教育7/24∴AHAD＝EFBC（2）由（1）得AH8＝x10．AH＝45x．∴EQ＝HD＝AD－AH＝8－45x，∴S矩形EFPQ＝EF·EQ＝x(8－45x)＝－45x2＋8x＝－45（x－5）2＋20．∵－45＜0，∴当x＝5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．（3）如图1，由（2）得EF＝5，EQ＝4．∴∠C＝45°，∴△FPC是等腰直角三角形．∴PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9．分三种情况讨论：①如图2．当0≤t＜4时，设EF、PF分别交AC于点M、N，则△MFN是等腰直角三角形．∴FN＝MF＝t．∴S＝S矩形EFPQ－SRt△MFN=20－12t2＝－12t2＋20；②如图3，当4≤t5时，则ME＝5－t，QC＝9－t．∴S＝S梯形EMCQ＝12[（5－t）＋（9－t）]×4＝－4t＋28；③如图4，当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC＝9－t．∴S＝S△KQC=12(9－t)2＝12(t－9)2．图2图3图4综上所述：S与t的函数关系式为：S=221204)24285)1(9)9)2tttttt　(0，　（4，　（5．≤≤≤【例7】已知∠AOB＝60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．图1千教万教，教人求真；千学万学，学做真人。----成都学苑教育初三·周末培优班·专业·优质自己选择的路，跪着也要走完。------学苑教育8/24(1)⊙P移动到与边OB相切时（如图11），切点为D，求劣弧CD的长；(2)⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF＝42cm，求OC的长．【思路】(1)要求弧长，就要求弧长所对的圆心角