2016中考王中考命题研究数学(贵阳)综合专题闯关专题八二次函数中存在性问题

专题八二次函数中存在性问题专题命题规律二次函数中存在性问题是贵阳中考必考内容，近5年共考了4次，主要与几何图形结合起来考查，且都以解答题形式出现，分值12分．2016预测预计2016年贵阳中考对二次函数存在性问题仍会考查，且涉及到的内容有：等腰三角形，直角三角形，相似三角形、面积最值、面积倍分、特殊四边形等存在性问题．,中考重难点突破)等腰三角形存在性问题【经典导例】【例1】如图，已知直线y＝3x－3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合)．(1)求抛物线的解析式；(2)求△ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．【解析】(1)根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式．(2)由(1)求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算．(3)根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为(－1，m)，分三种情况讨论，①MA＝BA，②MB＝BA，③MB＝MA，求出m的值后即可得出答案．【学生解答】(2016原创预测)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c(c≠0)的图象经过点A(－2，m)(m0)，与y轴交于点B，AB∥x轴，且3AB＝2OB.(1)求m的值；(2)求二次函数的解析式；(3)如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点(点C在左侧)．问线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．直角三角形存在性问题【经典导例】【例2】(2015贵阳模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，连接CD、BD，把△BCD沿BC折叠，①求点D的对应点D′的坐标；②在抛物线上是否存在点P，使得△DD′P是以DD′为一直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)把A(－1，0)、C(0，4)两点的坐标代入y＝ax2＋bx－4a，根据待定系数法可得这个抛物线的解析式．(2)①将点D(m，m＋1)代入y＝－x2＋3x＋4中，得到D点坐标，根据等腰直角三角形的判定可得△OBC是等腰直角三角形，根据折叠的性质进一步得到点D的对应点D′的坐标；②存在满足条件的点P.过D′作D′E∥BC交x轴于E，交抛物线于P1，根据待定系数法可得直线D′E的解析式，联立方程组可得点P1的坐标；过D作DF∥BC交y轴于F，交抛物线于P2，根据待定系数法可得直线DF的解析式，联立方程组可得点P2的坐标．【学生解答】(2015黔东南中考)如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(12，52)和B(4，m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标．面积最值存在性问题【经典导例】【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴；(2)设点P为抛物线(x5)上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；(3)连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，可利用两点式法设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)，代入A(0，4)即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴．(2)由已知，可求得P(6，4)，由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO＝4、OM＝3，又知点P的坐标中x5，所以MP2，AP2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，则分析求解即可求得答案．(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大，设N点的横坐标为t，此时点N(t，45t2－245t＋4)(0t5)，再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．【学生解答】如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°得到△DOC，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．特殊四边形存在性问题【经典导例】【例4】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B，且18a＋c＝0.(1)求抛物线的解析式；(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】(1)由OA的长从而求出点A的坐标，代入解析式得到c＝－12，再与18a＋c＝0联立从而求出a的值，再利用对称轴为－b2a＝3求得b的值，继而求得二次函数的解析式．(2)①由题意得AP＝t，PB＝6－t，QB＝2t，所以S＝12PB·BQ＝12×(6－t)×2t＝－t2＋6t(0t6)；②由S与t的函数关系式可得到S的最大值，当以P、B、Q、R为顶点的四边形为平行四边形时，要分三种情况加以讨论．【学生解答】(2014岳阳中考)如图，抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0，103)三点，设点E(x，y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．(1)求抛物线的解析式；(2)当点E(x，y)运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值；(3)是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点、F点的坐标；若不存在，请说明理由．