2016届人教A版函数与基本初等函数单元测试1

-1-2016届人教A版函数与基本初等函数单元测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·石光中学段测)函数f(x)＝x－5＋2x－1的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[答案]C[解析]f(0)0，f(1)＝－30，f(2)＝－10，f(3)＝20，故选C．2．(2015·重庆南开中学月考)函数f(x)＝lgx2－1－x2＋x＋2的定义域为()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－2,1)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(1,2)[答案]D[解析]由题意得，x2－10－x2＋x＋20，解得1x2.3．(2014·山东省菏泽市期中)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝3，则f(8)－f(4)的值为()A．－1B．1C．－2D．2[答案]C[解析]∵f(1)＝1，f(2)＝3，f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－1，f(－2)＝－3，∵f(x)周期为5，∴f(8)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－2.4．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)＝()A．338B．337C．1678D．2013[答案]B[解析]∵定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)，-2-∴f(x)是周期为6的周期函数．又当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x3时，f(x)＝x.∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0,2013＝6×335＋3，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)＝335(1＋2－1＋0－1＋0)＋1＋2－1＝337，选B．5．(文)(2015·石光中学段测)函数y＝log5(1－x)的大致图象是()[答案]C[解析]由1－x0得x1，排除A、B；又y＝log5(1－x)为减函数，排除D，选C．(理)(2014·山东省德州市期中)函数y＝ex＋xex－x的一段图象是()[答案]D[解析]首先f(－x)≠±f(x)，f(x)为非奇非偶函数，排除B、C；其次，x＝2时，y＝e2＋2e2－20，排除A，故选D．6．(2014·西安一中期中)P＝log23，Q＝log32，R＝log2(log32)，则()A．RQPB．PRQC．QRPD．RPQ[答案]A[解析]P＝log23log22＝1，Q＝log32＝1log23∈(0,1)，R＝log2(log32)0，∴RQP，故选A．7．(2015·江西三县联考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1-3-C．1D．3[答案]A[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.8．(2015·许昌、平顶山、新乡三市调研)若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝(12)lnx，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为()A．cbaB．bcaC．abcD．bac[答案]B[解析]∵1ex1，∴a＝lnx∈(－1,0)，b＝(12)lnx∈(1,2)，c＝elnx＝x，∴bca.9．(2015·沈阳市东北育才中学一模)规定a⊗b＝ab＋2a＋b，a、b∈R＋，若1⊗k＝4，则函数f(x)＝k⊗x的值域为()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．[78，＋∞)D．[74，＋∞)[答案]A[解析]由1⊗k＝4得2＋k＋k＝4，∴k＝1，∴f(x)＝k⊗x＝1⊗x＝x＋x＋2＝(x)2＋x＋22.10．(2014·北京东城区联考)下列函数中，图象关于坐标原点对称的是()A．y＝lgxB．y＝cosxC．y＝|x|D．y＝sinx[答案]D[解析]y＝|x|与y＝cosx为偶函数，y＝lgx的定义域为(0，＋∞)，故A、B、C都不对，选D．11．(2014·抚顺二中期中)若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则称点(A，B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”．点对(A，B)与(B，A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f(x)＝x2＋2xx02exx≥0，则f(x)的“姊妹点对”有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]C[解析]由姊妹点对的定义知，若(A，B)为f(x)的一个姊妹点对，则A、B分别在f1(x)＝x2-4-＋2x(x0)与f2(x)＝2ex(x≥0)的图象上，设A(x0，y0)，则y0＝x20＋2x0，B(－x0，－y0)，∴2e－x0＝－x20－2x0，∴ex0＝－12x20－x0＝－12(x0＋1)2＋12，在同一坐标系中作出函数y＝ex(x0)与y＝－12(x＋1)2＋12(x0)的图象知，两图象有且仅有两个交点，故f(x)的姊妹点对有2个．12．(2015·庐江二中、巢湖四中联考)函数f(x)＝(13)x－log2x，正实数a，b，c满足abc且f(a)·f(b)·f(c)0.若实数d是方程f(x)＝0的一个解，那么下列四个判断：①da②da③dc④dc中有可能成立的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]∵y＝(13)x为减函数，y＝log2x为增函数，∴f(x)为减函数，由题意f(d)＝0，又abc，f(a)f(b)f(c)0，∴f(c)0，f(a)0，从而adc，∴②④正确，选B．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2015·宝安中学、仲元中学摸底)若f(x)＝2x＋2－xlga是奇函数，则实数a＝________.[答案]110[解析]∵函数f(x)＝2x＋2－xlga是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0恒成立．∴2x＋2－xlga＋2－x＋2xlga＝0，即2x＋2－x＋lga(2x＋2－x)＝0恒成立，∴lga＝－1，∴a＝110.14．(2014·泸州市一诊)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f(3x＋1)恒成立，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，－5][解析]∵x≥0时，f(x)＝x2，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在R上为增函数，∵f(x＋a)≥f(3x＋1)恒成立，∴x＋a≥3x＋1恒成立，∴a≥2x＋1恒成立，∵x∈[a，a＋2]，∴a≥2(a＋2)＋1，∴a≤－5.15．(2015·洛阳市期中)函数f(x)＝x＋x3x4＋2x2＋1的最大值与最小值之积等于________．[答案]－14-5-[解析]f(x)＝x1＋x2x2＋12＝xx2＋1＝1x＋1x，当x0时，x＋1x≥2等号在x＝1时成立，此时f(x)∈(0，12]；当x0时，x＋1x≤－2，等号在x＝－1时成立，此时f(x)∈[－12，0)，又f(0)＝0，∴f(x)∈[－12，12]，∴最大值与最小值之积为－14.16．(2013·泗阳中学、盱眙中学联考)在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则c＋ha＋b的取值范围是________．[答案](1，324][解析]∵a＝csinA，b＝ccosA，h＝bsinA＝csinAcosA，设c＋ha＋b＝y，则y＝c＋csinAcosAcsinA＋ccosA＝1＋sinAcosAsinA＋cosA，令t＝sinA＋cosA，∵0Aπ2，∴t＝2sin(A＋π4)∈(1，2]，sinAcosA＝t2－12，∴y＝1＋t2－12t＝t2＋12t，∴y′＝12－12t2＝12(1－1t2)0，∴y＝t2＋12t在(1，2]上为增函数，∴1y≤324.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝2ax2＋4x－3－a，a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最大值；(2)如果函数f(x)在R上有两个不同的零点，求a的取值范围．[解析](1)当a＝1时，f(x)＝2x2＋4x－4＝2(x2＋2x)－4＝2(x＋1)2－6.因为x∈[－1,1]，所以x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝2.(2)∵Δ0，a≠0，∴a2＋3a＋20，a≠0，∴a－2或－1a0或a0，∴a的取值范围是(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0，＋∞)．18．(本小题满分12分)(2015·濉溪县月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝x(0x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．[解析](1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．-6-又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.当x∈[－1,0)时，有－x∈(0,1]，∴f(x)＝－f(－x)＝－－x.故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4，从而x∈[－5，－4]，函数f(x)＝－－x－4.19．(本小题满分12分)(2015·莆田市仙游一中期中)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝gxx.(1)求a、b的值；(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．[解析](1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因为a0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，故g2＝1，g3＝4，解得a＝1，b＝0.(2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，由已知可得f(x)＝x＋1x－2，所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋12x－2≥k·2x，化为1＋(12x)2－2·(12x)≥k，令t＝12x，则k≤t2－2t＋1，因为x∈[－1,1]，故t∈[12，2]，记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈[12，2]，故h(t)max＝1，所以k的取值范围是(－∞，1]．20．(本小题满分12分)(文)(2014·长沙调研)已知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k(a0，a≠1)．(1)求a，k的值；(2)当x为何值时，f(logax)有最小值？并求出该最小值．[解析](1)由题得a2－a＋k＝4①log2a2－log2a＋k＝k②由②得log2a＝0或log2a＝1，解得a＝1(舍去)或a＝2，由a＝2得k＝2.-7-(2)f(logax)＝f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2，当log2x＝12即x＝2时，f(logax)有最小值，最小值为74.(理)(2014·南通市调研)设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a0且a≠1)