2016届原创§20函数的其他性质

一、凸凹性：二、渐近性：§20函数的其他性质三、可导性：图像连续即连续四、连续性：五、有界性：形：点点连续线连续数：二有二等点连续光滑连续暂如此形：点点可导线可导数：一差二比三极限1.凸凹性的定义：2.凸凹性的判定：3.凸凹性的应用：①原函数与导函数的关联②增长速度③证明不等式函数总述三求一画反复讨论基本函数一十有二注①.三求：注③.反复讨论：注②.一画：注④.基本函数一十有二：函数的三要素：①定义域②解析式③值域①反函数②复合函数③讨论性质1°常值函数；2°正比函数；3°反比函数4°对号函数；5°一次函数；6°二次函数7°三次函数；8°幂函数；9°指数函数10°对数函数；11°三角函数；12°绝对值函数函数的图象1°单调性；2°奇偶性；3°周期性；4°凸凹性5°渐近性；6°有界性；7°连续性……背诵法①使式子有意义的x反函数：奇偶性：复合函数：基本函数：2.定义域的求法：形法：数法三反两同两公式定义域具有对称性内函数的值域是外函数的定义域左右看定义域；上下看值域②实际问题对x的限制有图就有一切1.“定义域优先”是原则，是习惯：注：抽象函数的定义域：函数像个框什么都能装大小要刚好内值外定义2.作图、识图与用图密不可分：1.有图就有一切：利用图象解题获取图中信息①作图是基础：基本函数要熟知两域五性反导数上大下小中为根极值最值不动点数形结合思想是个很大的数学思想根据条件作图②识图是关键：③用图是目的：用图靠自觉好图是关键描点变换性质法基本函数要熟知⑴常值函数的图像:……⑶反比函数的图像:……⑵正比函数的图像:……⑷一次函数的图像:……⑸二次函数的图像:……yCykxkyxykxb2yaxxbxc注：分式一次函数的图像反比函数的图像平移常数分离法⑹对号函数的图像kyxx0k0k2kk，⑺三次函数的图像:32fxaxbxcxd0a0a/()0fx（其中：⊿是方程的判别式）⊿＞0⊿≤02x1x2x1x注:四次函数的图像:432fxaxbxcxdxe0a0a方程有/()0fx一个实根或三个实根且有二个为重根时三个互异的实根时方程有/()0fx⑻幂函数的图像nmyxx第一象限是关键正抛负双上大1恒过定点(1,1)点二三象限看奇偶奇奇奇偶奇偶奇偶非走双偶无3xyxyo3logyx2logyx12logyx13logyx⑼对数函数的图像指上对右增大减小指对互反恒过定点大同小异越小越近渐近平行底倒图对aylogx(1,0)0(0,1)xyxy2xy21xy3xy31⑽指数函数的图像指上对右增大减小指对互反恒过定点大同小异越小越近渐近平行底倒图对xyay=sinx的图象y=cosx的图象(11)三角函数的图象y=tanx的图象y=cotx的图象112233()||||||fxkxxkxxkxx①单绝对值函数：③三绝对值函数：0()||fxkxx②双绝对值函数：1122()||||fxkxxkxx四点三线法五点四线法三点二线法11()xfx，22()xfx，33()xfx，44()xfx，（12）.绝对值函数的图像:yfxygx取大函数：Fmax,xfxgx取大函数：Gmin,xfxgxFmax,xfxgx取小函数：yfxygx取大函数：Gmin,xfxgxFmax,xfxgx取小函数：符号函数：（x0）（x=0）（x0）xyo11取整函数1.取整的方法：①四舍五入取整②截去小数取整③截去小数向上取整④截去小数向下取整2.上取整函数(ceiling)：xyo132123(不小于x的整数中最小的一个)3.下取整函数(floor)：(不超过x的整数中最大的一个)xyo134212xyoxyo1xyo1-12xxeeshx双曲正弦函数2xxeechx双曲余弦函数双曲正切函数xxxxeeeechxshxthx双曲函数的图像二、两者间的关系：函数的不动点与稳定点1.不动点一定是稳定点；反之则不然2.若f(x)在D上的递增,则稳定点一定是不动点(2010年浙大自考)1.一阶不动点f(x)与y=x交点的横坐标2.二阶不动点f(x)与y=x交点的横坐标或f(x)上关于y=x对称点的横坐标一、对两者数形的阐释：y=f(x)y=x方程组的解方程组的解f(x1)=x2f(x2)=x100fxx00fxx()()f(x)=yf(y)=x单调性奇偶性周期性作用形数升降性对称性重复性化负为正转换大小化大为小①背诵法②形法③数法f(x)±f(-x)=0f(x+T)=f(x)x1＜x2y1＜y2↗概念判定背诵法反函数：奇偶性：复合函数：基本函数：形法：数法三反两同两公式奇同偶反同增异减有图就有一切和差函数：同加不变；异减看前从左到右持续升（降）增大减小○驻点含参反用必须等具体函数比较法抽象函数配凑法导数法定义法单调性的判定注：导数法判定单调性：第一确定定义域第二求导到显然注1：最终结果要显然乘积配方与○比注2：增大减小○驻点等号问题待大学含参反用必须等其他情况暂忽略注3：书写格式要简明三解不等得结论书写格式要简明①②③①当f(x)单调时②当f(x)不单调时因在Domain上恒成立0)(xf故f(x)在Domain上↗（↘）0)(xf当x∈Domain时，解得f(x)在I1，I2…上↗当x∈Domain时，解得f(x)在I1，I2…上↘0)(xf1.背诵法2.形法：3.数法奇偶性的判定注⑹：复合函数的奇偶性是“全奇为奇,内偶则偶”注⑵：若奇函数f(x)在x=0处有定义,则一定有f(0)=0注⑶：f(x)为偶函数f(x)=f(-x)=f(|x|)注⑷：原函数为奇函数反函数为奇函数注⑸：原函数为奇(偶)函数导函数为偶(奇)函数注⑴：若f(x)具有奇偶性,则其定义域一定关于原点对称注⑺：个别函数的奇偶性，用下列证法可能更简f(x)±f(－x)=0；()1()fxfx注⑻：定义在R上的f(x)，若对任意的x，y有()()()fxyfxfy＋－，则f(x)为奇(偶)函数注⑼：①同号周期性异号对称性若f(m+x)=±f(n-x),则f(x)具有对称性……2nmx为对称轴)2(nmxf)()(xnfxmf为偶函数)()(xnfxmf），点（02nm为对称中心为奇函数)2(nmxf②类比和谐函数，两种对称性具有周期性……注⑵：一般地,若T是周期,则kT也是周期(k∈Z)注⑶：原函数为周期函数,则导函数为周期函数注⑷：若内函数为周期函数,则复合函数为周期函数注⑸：原函数为奇(偶)函数导函数为偶(奇)函数注⑹：同号周期性异号对称性注⑴：一般地,只有和谐函数才有最小正周期T的公式①若f(m+x)=±f(n+x),则f(x)具有周期性……)()(xnfxmf若若，则有T=2|m-n|)()(xnfxmf若，则有T=|m-n|②类比和谐函数，两种对称性具有周期性……周期性的判定②形法①背诵法③数法求周期的方法①公式法：②形法：③定义法：弦式||2T切式||T○②①○一般地,和谐函数才有周期公式迭代法：迭加法：④类比法：①○○②○③直接观察法：图像的重复性f(x＋T)＝f(x)f(x＋a)＝－1fxf(x＋a)＝－f(x)；……f(x)＝f(x＋a)－f(x＋2a)类比和谐函数，两种对称性具有周期性……换元法：○④……f(x＋a)＝f(x－a)……一、凸凹性：二、渐近性：§20函数的其他性质三、可导性：图像连续即连续四、连续性：五、有界性：形：点点连续线连续数：二有二等点连续光滑连续暂如此形：点点可导线可导数：一差二比三极限1.凸凹性的定义：2.凸凹性的判定：3.凸凹性的应用：①原函数与导函数的关联②增长速度③证明不等式1.凸凹性的定义：21,xx若对(a，b)上任意两点，恒有：)(xf设函数为定义在区间I上的函数，(a，b)I1212()()()22xxfxfxf,则称)(xf为(a,b)上的凸函数(2)(A型)1212()()()22xxfxfxf,则称(1)为(a,b)上的凹函数)(xf(V型)一、凸凹性：2.凸凹性的判定：1212()()()22xxfxfxf原函数凹⇔一导增⇔二导正⇔⇔…原函数凸⇔一导减⇔二导负⇔⇔…1212()()()22xxfxfxf·····(x1,y1)(x1,f(x1))(x2,y2)(x2,f(x2)))2)()(,2(2121xfxfxx)2(,2(2121xxfxx)2(,2(2121xxfxx1212()()()22xxfxfxf为凹函数)(xf1212()()()22xxfxfxf)(xf为凸函数1212()()()22xxfxfxf1212()()()22xxfxfxf(V型)(A型)凸凹性的几何特征1：··(x1,y1)(x1,f(x1))(x2,y2)(x2,f(x2))凸凹性的几何特征2：原函数凹⇔图像总在切线的上方⇔一导增⇔二导正⇔…原函数凸⇔图像总在切线的下方⇔一导减⇔二导负⇔…nxxx,,,21nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121nxxx21①设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数琴生(Jensen)不等式:,有当且仅当时取等号nxxx,,,21nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121nxxx21②设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内任意的n个实数,有当且仅当时取等号附：凸凹性与琴生(Jensen)不等式3.凸凹性的应用：①原函数与导函数的关联②增长速度③证明不等式原函数凹一导增二导正……原函数凸一导减二导负……若f(x)为凸函数,则x逐渐增大时f(x)的增长幅度会越来越小若f(x)为凹函数,则x逐渐增大时f(x)的增长幅度会越来越大1212()()()22xxfxfxf为凹函数)(xf1212()()()22xxfxfxf)(xf为凸函数1212()()()22xxfxfxf1212()()()22xxfxfxf(V型)(A型)练习1.凸凹性xyxyxyyx2cos,,log,2221021xx2)()()2(2121xfxfxxf这四个函数中，时，使当恒成立的函数的个数是(1).(2005年湖北)在A.0B.1C.2D.31212()()()22xxfxfxf原函数凹⇔一导增⇔二导正⇔⇔…原函数凸⇔一导减⇔二导负⇔⇔…1212()()()22xxfxfxf析1：析2：即考查在区间(0,1)内是凸函数的个数……【B】①f(x)在[1,3]上的图像是连续不断的；(2).(2012年福建)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意的具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题：x1,x2∈[a,b],有1212()()()22xxfxfxf,则称f(x)在[a,b]上②f(x2)在上具有性质P；其中真命题的序号是③若f(x)在x=2上处取得最大值1，则f(x)=1,x∈[1,3]]3,1[④对任意的x1,x2,x3,x4∈[1,3]，有)]()()()([41)2(43214321xfxfxfxfxxxxfA．①②B．①③C．②④D．③④【D】(3)(2004年浙江)设f/(x)是函数f(x)的则y=f(x)的图象最有可能的是导函数，y=f/(x)的图象如右图所示【C】ABCD(4)(2008年福建)已知函数y=f(x)，y=g(x)的导函数的图象如左图，那么y=f(x)，y=g(x)的图象可能是【D】(5).(1998年全国)