2016届江苏省南通市高三高考最后一练数学试题

页1第2016届江苏省南通市高三高考最后一练数学试题一、填空题1、已知集合}3,2,1{A，}6,3,{mB，}3,2{BA，则实数m的值为.2、设复数iRbabiaz,,(是虚数单位），若iiz)2(，则ba的值为.3、下图是一个算法流程图，当输入的x的值为2时，则输出的y的值为.4、用2种不同的颜色给右图中的3个圆随机涂色，每个圆只涂1种颜色，则相邻的两个圆颜色均不相同的概率为.5、用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1~480，按编号顺序平均分为20个组（1~24号，25~48号，……，457~480号）.若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为.6、设不等式组0212yyxyx，表示的平面区域为D，),(yxP是区域D内任意一点，则yx3的最大值为.7、已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面所成的角为60，则该棱锥的体积为.8、在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点),2(tP，且55cossin，则实数t的值为.9、已知一元二次不等式0)(xf的解集为),2()1,(，则不等式0)3(xf的解集为.10、在平面直角坐标系xOy中，已知圆),(1)()(22Rbabyax截直线012yx所得的弦长为554，则ab的最大值为.页2第11、设直线l是曲线xxyln343的切线，则直线l的斜率的最小值为.12、在平行四边形ABCD中，已知2AB，7AC，1AD.若点QP,满足APAC3，PQBD4，则AQAP的值为.13、在平面直角坐标系xOy中，已知)sin,(cosA，)sin,(cosB是直线23xy上的两点，则)tan(的值为.14、已知函数23||)(axaxxf有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为.二、解答题15、（本小题满分14分）在ABC中，角CBA,,的对边分别是cba,,，BA，135cosC，53)cos(BA.（1）求A2cos的值；（2）若15c，求a的值.16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCDP中，ACD是正三角形，BD垂直平分AC，垂足为M，120ABC，1ABPA，2PD，N为PD的中点.（1）求证：AD平面PAB；（2）求证：//CN平面PAB.17、（本小题满分14分）某市2015年新建住房面积为500万2m，其中安置房面积为200万2m.计划以后每年新建住房面积比上一年增长10%，且安置房面积比上一年增加50万2m.记2015年为第1年.（1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3000万2m？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由.页3第18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知BA,分别是椭圆)0(12222babyax的上、下顶点，点)21,0(M为线段AO的中点，aAB2.（1）求椭圆的方程；（2）设)2,(tN（0t），直线NBNA,分别交椭圆于点QP,，直线PQNBNA,,的斜率分别为321,,kkk.①求证：QMP,,三点共线；②求证：213231kkkkkk为定值.19、（本小题满分16分）已知数列}{na的首项为2，前n项的和为nS，且142111nnnSaa（Nn）.（1）求2a的值；（2）设nnnnaaab1，求数列}{nb的通项公式；（3）若),,,(,,rpmNrpmaaarpm成等比数列，试比较2p与mr的大小，并证明.20、（本小题满分16分）已知函数exexfx)(，aaxxg2)(，其中e为自然对数的底数，Ra.（1）求证：0)(xf；（2）若存在Rx0，使)()(00xgxf，求a的取值范围；（3）若对任意的)1,(x，)()(xgxf恒成立，求a的最小值.页4第21、选做题A．【选修4—1：几何证明选讲】如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，BDBC，BA的延长线交CD的延长线于点E.求证：AE是四边形ABCD的外角DAF的平分线.B.【选修4—2：矩阵与变换】已知变换T：yyxyxyx2''，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵1A.C.【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为tytx323（t为参数），曲线C的参数方程为mymx2322（m为参数）.若直线l与曲线C相交于BA,两点，求线段AB的长.D.【选修4—5：不等式选讲】已知关于x的不等式02baxx的解集为)2,1(，其中Rba,，求函数xbxaxf4)1(3)1()(的最大值.【必做题】22、（本小题满分10分）已知正六棱锥ABCDEFS的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积.（1）求概率)3(XP的值；（2）求X的分布列，并求其数学期望)(XE.23、（本小题满分10分）页5第已知mmmyx2)12(，其中m，mx，Nym.（1）求证：my为奇数；（2）定义：[x]表示不超过实数x的最大整数.已知数列}{na的通项公式为]2[nan.求证：存在}{na的无穷子数列}{nb，使得对任意的正整数n，均有nb除以4的余数为1.高三练习卷参考答案一、填空题：1、22、513、74、415、756、67、3328、49、]2log,0[310、2111、912、361913、314、}83335,59{二、解答题：15、（1）解：在ABC中，CBA，所以CBA，所以135cos)cos()cos(CCBA.因为BA0，1)(cos)(sin22BABA，所以1312)135(1)(cos1)sin(22BABA.因为BA，所以BA0，由53)cos(BA，得54)53(1)(cos1)sin(22BABA.所以)sin()sin()cos()cos()]()cos[(2cosBABABABABABAA656354131253)135(.（2）由6563sin212cos2AA，得6564sin2A，因为A0，所以658sinA，因为15c，由正弦定理CcAasinsin得：6521265815sinsinCAca.16、（1）因为BD垂直平分AC，所以BCBA，在ABC中，因为120ABC，所以30BAC，页6第因为APAB,平面PAB，AAPAB，所以AD平面PAB.（2）（方法一）取AD的中点H，连结CH，NH因为N为PD的中点，所以PAHN//，因为PA平面PAB，HN平面PAB，所以//HN平面PAB.由ACD是正三角形，H为AD的中点，所以ADCH，由（1）知，ADBA，所以BACH//，因为BA平面PAB，CH平面PAB，所以//CH平面PAB.因为HNCH,平面CNH，HHNCH，所以平面//CNH平面PAB.因为CN平面CNH，所以//CN平面PAB.（方法二）取PA的中点S，过C作ADCT//交AB的延长线于T，连结SNST,.因为N为PD的中点，所以ADSN//，且ADSN21，因为ADCT//，所以SNCT//.由（1）知，ADAB，所以ATCT，在直角CBT中，1BC,60CBT,得23CT.由（1）知3AD，所以ADCT21，所以SNCT.所以四边形SNCT是平行四边形，所以TSCN//.因为TS平面PAB，CN平面PAB，所以//CN平面PAB.17、（1）设n（Nn）年内所建安置房面积之和首次不低于3000万2m，依题意，每年新建安置房是以200为首项，50为公差的等差数列，从而n年内所建安置房面积之和为2]502)1(200[mnnn，则3000502)1(200nnn，整理得012072nn，解得8n（15n舍去）.答：8年内所建住房面积之和首次不低于3000万2m.（2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，200为首项，1.1为公比的等比数列，设第m年所建安页7第置房面积占新建住房面积的比为)(mp，则111.1103)1.01(500)1(50200)(mmmmmp，由)1()(mpmp得，mmmm1.11041.11031，解得7m.答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变.18、解：（1）由题意知，abb2)21(42，解得2a，1b，所以椭圆的方程为1222yx.证：（2）①由)2,(tN，)1,0(A，)1,0(B，则直线NA的方程为11xty，直线NB的方程为13xty，由221122yxxty得2224222ttyttx，故)22,24(222ttttP由221322yxxty得18181812222ttyttx，故)1818,1812(222ttttQ所以直线PM的斜率ttttttkPM862421222222，直线PM的斜率ttttttkQM8618122118182222，所以QMPMkk，故QMP,,三点共线.②由①知，ttktktk86,31,12321，所以21386422213231ttttkkkkkk，所以213231kkkkkk为定值21.19、（1）易得3142a.（2）由142111nnnSaa，得14211nnnnnSaaaa，所以nnnnnaaaaS11214①所以1212214nnnnnaaaaS②，由②-①，得nnnnnnnnnaaaaaaaaa1112121222，因为01na，所以页8第nnnnnnaaaaaa11222，所以211121nnnnnnaaaaaa，即11121nnnnnnaaaaaa，即11nnbb，所以数列}{nb是公差为1的等差数列.因为431211aaab，所以数列}{nb的通项公式为41nbn.(3)由（2）知，411naaannn，所以143414111nnnaann，所以141)1(41nanann，所以数列}14{nan是常数列.由321141a，所以)14(32nan.(方法一)由),,,(,,rpmNrpmaaarpm成等比数列，则14m，14p，14r成等比数列，所以)14)(14()14(2rmp，所以0)(4168162rmmrpp，即0)(4242rmmrpp（*）（途径一）（*）式即为mrmrrmmrpp24)(4242，所以22)212()212(mrp，即212212mrp，所以mrp，即mrp2.（途径二）（*）式即为14242rrppm.由014)(14)14()24(1424222222rrprprrrppprrrpppmr，所以mrp2.（方法二）由),,,(,,rpmNrpmaaarpm成等比数列，则14m，14p，14r成等比数列，记)1(4,4,4rpm，则有1,1,1成等比数