2016届河北省衡水市武邑中学高三(下)第一次质检数学试卷(文科)(解析版)

第1页（共20页）2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高三（下）第一次质检数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合P={﹣1，0，1}，，则P∩Q=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{0}D．{1}2．设复数z满足，则z=（）A．1﹣iB．1+iC．﹣1+iD．﹣1﹣i3．从1，2，3，4这四个数中，随机取出两个数字，剩下两个数字的和是奇数的概率是（）A．B．C．D．4．已知sinα=2cosα，则=（）A．B．C．2D．5．抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣y2=2的渐近线的距离是（）A．B．C．D．26．函数f（x）=log2x﹣的零点包含于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，+∞）7．执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A．5B．4C．3D．28．同时具有性质“①最小正周期是4π；②是图象的一条对称轴；③在区间上是减函数”的一个函数是（）A．B．C．D．9．下列说明正确的是（）第2页（共20页）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．{an}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件C．∃x0∈（﹣∞，0），使成立D．“”必要不充分条件是“”10．已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=16相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则tanA=（）A．B．C．D．12．设方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，则（）A．x1x2＜0B．x1x2=1C．x1x2＞1D．0＜x1x2＜1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，且与共线，则x的值为．14．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3﹣8，则关于x的不等式f（x﹣2）＞0的解集为．15．古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n=5，7，9，11，…）的分数的分解：=+，=+，=+，…，按此规律，则（1）=．（2）=．（n=5，7，9，11，…）16．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为．第3页（共20页）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等比数列{an}为递增数列，且，2（a1+a3）=5a2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令，求数列{bn}的前n项和Sn．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，点D是A1B1中点，AC=2，CC1=．（Ⅰ）求三棱锥C﹣BDC1的体积；（Ⅱ）证明：A1C⊥BC1．19．某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间（分钟）[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）人数25501555公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y（元）与乘车时间t（分钟）的关系是，其中表示不超过的最大整数．以样本频率为概率：（I）求公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率；（II）估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线y=2上是否存在点M，便得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx，（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在区间[，e]上的最大值；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]第4页（共20页）22．如图，等腰△ABC的一条腰及底边中线分别与圆O相交于点A，D和E、F，圆O的切线FG与CE相交于点G．（I）证明：FG⊥CE；（Ⅱ）若BA=4BD，BF=3BE，求FG：CE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．[选修4-5：不等式选]24．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；（Ⅱ）若正实数a，b满足+=，求证：+≥m．第5页（共20页）2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高三（下）第一次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合P={﹣1，0，1}，，则P∩Q=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{0}D．{1}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：集合P={﹣1，0，1}，=[0，4）∴P∩Q={0，1}，故选：B．2．设复数z满足，则z=（）A．1﹣iB．1+iC．﹣1+iD．﹣1﹣i【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵，∴（1﹣i）（1﹣i），2z=2（1﹣i），解得z=1﹣i．故选：A．3．从1，2，3，4这四个数中，随机取出两个数字，剩下两个数字的和是奇数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出剩下两个数字的和是奇数包含的基本事件个数，由此能求出剩下两个数字的和是奇数的概率．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中，随机取出两个数字，基本事件总数n==6，剩下两个数字的和是奇数包含的基本事件个数m==4，∴剩下两个数字的和是奇数的概率p==．故选：C．4．已知sinα=2cosα，则=（）A．B．C．2D．第6页（共20页）【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式以及二倍角公式化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：sinα=2cosα，可得tanα=2，则=﹣sin2α=﹣=﹣==．故选：B．5．抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣y2=2的渐近线的距离是（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】容易求出抛物线焦点及双曲线的渐近线方程分别为（1，0），y=±x，所以根据点到直线的距离公式即可求得该焦点到渐近线的距离．【解答】解：抛物线的焦点为（1，0），双曲线的渐近线方程为y=±x；∴由点到直线的距离公式得抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为：．故选A．6．函数f（x）=log2x﹣的零点包含于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，+∞）【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由题意知函数f（x）=log2x﹣在（0，+∞）上连续，再由函数的零点的判定定理求解．【解答】解：函数f（x）=log2x﹣在（0，+∞）上连续，f（3）=log23﹣＜0；f（4）=log24﹣=＞0；故函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间是（3，4）．故选：C．7．执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）第7页（共20页）A．5B．4C．3D．2【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的P，Q值，不满足条件P≤Q，程序终止即可得到结论．【解答】解：执行程序框图，有n=0，0≤1，P=1，Q=3，n=1；n=1，1≤3，P=1+4=5，Q=7，n=2；n=2，5≤7，P=5+16=21，Q=15，n=3；n=3，21≤15不成立，输出，n=3；故选：C8．同时具有性质“①最小正周期是4π；②是图象的一条对称轴；③在区间上是减函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用函数的周期，求出ω，利用图象关系直线x=对称，即可判断选项的正误．【解答】解：对于选项A、B，∵T==π，故A，B不正确；对于选项C，如果x=为对称轴．所以+=kπ，k∈Z，可得=kπ，k不存在，不满足题意，故C不正确；对于选项D，因为T==4π，且由=k，k∈Z，解得图象的对称轴方程为：x=2kπ+，k∈Z，当k=0时，x=为图象的一条对称轴．第8页（共20页）由2kπ≤≤2kπ，k∈Z，解得单调递减区间为：[4kπ+，4kπ+]，k∈Z，可得函数在区间上是减函数，故D正确．故选：D．9．下列说明正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．{an}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件C．∃x0∈（﹣∞，0），使成立D．“”必要不充分条件是“”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】真假写出原命题的否命题判断A；由a1＜a2＜a3，说明数列为递增数列，可得a4＜a5，反之，由a4＜a5，不一定有数列为递增数列判断B；由幂函数的单调性判断C；由正切函数值的求法结合充分必要条件的判断方法判断D．【解答】解：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＜1，则a2≤1”，故A错误；{an}为等比数列，a1＜a2＜a3，说明数列为递增数列，则a4＜a5，反之，由a4＜a5，不一定有a1＜a2＜a3，∴“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的充分不必要条件，故B错误；当x0∈（﹣∞，0）时，幂函数在（0，+∞）上为减函数，，故C错误；由，不一定有，反之由，一定有，∴是的必要不充分条件，故D正确．故选：D．10．已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=16相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出以原点为圆心，半径是4的圆，利用数形结合即可得到在哪一个点的直线与圆相交的弦最短．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由图象可知，当P点在直线x=1与x+y=4的交点时，与圆心距离最远，作出直线与圆相交的弦短．P的坐标为（1，3），圆心到P点距离为d=，根据公式|AB|=2，可得：|AB|=2．第9页（共20页）故选：A．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则tanA=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理，分别求得b和c，b和a的关系，最后利用余弦定理求得cosA的值，可得sinA，则tanA可求得．【解答】解：△ABC中，∵，∴c=2b．若=，∴a2=19b2，∴cosA====，∴sinA==，∴tanA==．故选：C．12．设方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，则（）A．x1x2＜0B．x1x2=1C．x1x2＞1D．0＜x1x2＜1【考点】根的存在性及根的个数判断．第10页（共20页）【分析】由题意可得y=|lnx|和y=（）x的图象有两个交点，如图可得设0＜x1＜1，x2＞1，求得ln（x1x2）的范围，即可得到所求范围．【解答】解：方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，即为y=|lnx|和y=（）x的图象有两个交点，如图可得设0＜x1＜1，x2＞1，由ln（x1x2）=lnx1+lnx2=﹣+=，由0＜x1＜1，x2＞1，可得2x1﹣2x2＜0，2x1+x2＞0，即为ln（x1x2）＜0，即有0＜x1x2＜1．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20