2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)导数的应用

版权所有：中华资源库第十二节导数的应用Ⅰ[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).利用导数研究函数的单调区间、极值或最值，其考查题型有：(1)利用导数求单调区间，如2012年北京T18等．(2)利用单调性求参数范围，如2011年江苏T19等，(3)利用导数求函数的极值，或最值，如2012年陕西T7，安徽T19等．(4)已知函数的极值或最值求参数，如2012年江苏T18等.[归纳·知识整合]1．函数的单调性与导数[探究]1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0吗？f′(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．版权所有：中华资源库(2)函数的极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．[探究]2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件．3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[探究]3.函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是()A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(0，＋∞)解析：选D∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，由f′(x)0，得ex－10，即x0.2．(教材习题改编)函数f(x)＝13x3－4x＋4有()A．极大值283，极小值43B．极大值－43，极小值283版权所有：中华资源库．极大值43，极小值－283D．极大值283，极小值－43解析：选D∵f(x)＝13x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，则x＝±2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0；当x∈(－2,2)时，f′(x)0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0.∴f(x)极大值＝f(－2)＝283，f(x)极小值＝f(2)＝－43.3．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()解析：选D当x0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．4．(教材习题改编)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________．解析：由题意，得f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．由于f(－1)＝－2，f(1)＝0，f(0)＝2，故f(x)在[－1,1]上的最大值为2.答案：25．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.又∵f(x)在R上是单调函数，∴Δ＝4－12m≤0，即m≥13答案：13，＋∞版权所有：中华资源库运用导数解决函数的单调性问题[例1](2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝ax＋xlnx，且图象在点1e，f1e处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)．(1)求实数a的值；(2)设g(x)＝fx－xx－1，求g(x)的单调区间；(3)当mn1(m，n∈Z)时，证明：mnnmnm.[自主解答](1)f(x)＝ax＋xlnx，f′(x)＝a＋1＋lnx，依题意f′1e＝a＝1，所以a＝1.(2)因为g(x)＝fx－xx－1＝xlnxx－1，所以g′(x)＝x－1－lnxx－12.设φ(x)＝x－1－lnx，则φ′(x)＝1－1x.当x1时，φ′(x)＝1－1x0，φ(x)是增函数，对∀x1，φ(x)φ(1)＝0，即当x1时，g′(x)0，故g(x)在(1，＋∞)上为增函数；当0x1时，φ′(x)＝1－1x0，φ(x)是减函数，对∀x∈(0,1)，φ(x)φ(1)＝0，即当0x1时，g′(x)0，故g(x)在(0,1)上为增函数．所以g(x)的单调递增区间为(0,1)，(1，＋∞)．(3)要证mnnmnm，即证lnnm－lnmnlnn－lnm，即n－1nlnmm－1mlnn，mlnmm－1nlnnn－1.(*)因为mn1，由(2)知，g(m)g(n)，故(*)式成立，所以mnnmnm.———————————————————版权所有：中华资源库．导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2．导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)0时为增函数；f′(x)0时为减函数．3．导数法求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)，转化为不等式恒成立求解．1．已知函数f(x)＝3xa－2x2＋lnx，其中a为常数．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．解：(1)若a＝1时，f(x)＝3x－2x2＋lnx，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－4x＋3＝－4x2＋3x＋1x＝－4x＋1x－1x(x0)．当f′(x)0，x∈(0,1)时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递增．当f′(x)0，x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)f′(x)＝3a－4x＋1x，若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f′(x)＝3a－4x＋1x≥0或f′(x)＝3a－4x＋1x≤0，即3a－4x＋1x≥0或3a－4x＋1x≤0在[1,2]上恒成立．即3a≥4x－1x或3a≤4x－1x.令h(x)＝4x－1x，因为函数h(x)在[1,2]上单调递增，版权所有：中华资源库≥h(2)或3a≤h(1)，即3a≥152或3a≤3，解得a0或0a≤25或a≥1.利用导数解决函数的极值问题[例2](2012·重庆高考)设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．[自主解答](1)因f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，故f′(x)＝ax－12x2＋32.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－12＋32＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋12x＋32x＋1(x0)，f′(x)＝－1x－12x2＋32＝3x2－2x－12x2＝3x＋1x－12x2.令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－13(因x2＝－13不在定义域内，舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.———————————————————求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的附近两侧的符号：具体如下表：xxx0x0xx0f′(x)f′(x)0f′(x)＝0f′(x)0f(x)增极大值f(x0)减版权所有：中华资源库′(x)f′(x)0f′(x)＝0f′(x)0f(x)减极小值f(x0)增2．已知函数f(x)＝e－kx·x2＋x－1k(k0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数k，使得函数f(x)的极大值等于3e－2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f(x)的定义域为R.f′(x)＝－ke－kxx2＋x－1k＋e－kx(2x＋1)＝e－kx[－kx2＋(2－k)x＋2]，即f′(x)＝－e－kx(kx－2)(x＋1)(k0)．令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2k.当k＝－2时，f′(x)＝2e2x(x＋1)2≥0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)．当－2k0时，f(x)，f′(x)随x的变化情况如下：x－∞，2k2k2k，－1－1(－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间是－∞，2k和(－1，＋∞)，单调递减区间是2k，－1.当k－2时，f(x)，f′(x)随x的变化情况如下：x(－∞，－1)－1－1，2k2k2k，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值版权所有：中华资源库(x)的单调递增区间是(－∞，－1)和2k，＋∞，单调递减区间是－1，2k.(2)当k＝－1时，f(x)的极大值等于3e－2.理由如下：当k＝－2时，f(x)无极大值．当－2k0时，f(x)的极大值为f2k＝e－24k2＋1k，令e－24k2＋1k＝3e－2，即4k2＋1k＝3，解得k＝－1或k＝43(舍去)．当k－2时，f(x)的极大值为f(－1)＝－ekk.因为eke－2,0－1k12，所以－ekk12e－2.因为12e－23e－2，所以f(x)的极大值不可能等于3e－2.综上所述，当k＝