2014年考研数学三真题及答案

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）设lim,naa且0,a则当n充分大时有（）（A）2naa（B）2naa（C）1naan（D）1naan（2）下列曲线有渐近线的是（）（A）sinyxx（B）2sinyxx（C）1sinyxx（D）21sinyxx（3）设23(x)aPbxcxdx，当0x时，若(x)tanxP是比x3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是（A）0a（B）1b（C）0c（D）16d（4）设函数()fx具有二阶导数，()(0)(1)(1)gxfxfx，则在区间[0,1]上（）（A）当'()0fx时，()()fxgx（B）当'()0fx时，()()fxgx（C）当'()0fx时，()()fxgx（D）当'()0fx时，()()fxgx（5）行列式00000000ababcdcd（A）2()adbc（B）2()adbc（C）2222adbc（D）2222bcad（6）设123,,aaa均为3维向量，则对任意常数,kl，向量组1323,kl线性无关是向量组123,,线性无关的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A与B相互独立，且P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求P（B-A）=（）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4（8）设123,,XXX为来自正态总体2(0,)N的简单随机样本，则统计量1232XXX服从的分布为（A）F（1,1）（B）F（2,1）（C）t(1）（D）t(2)二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）设某商品的需求函数为402QP（P为商品价格），则该商品的边际收益为_________。(10)设D是由曲线10xy与直线0yx及y=2围成的有界区域，则D的面积为_________。(11)设2014axxedx，则_____.a(12)二次积分22110()________.xyyedyedxx（13）设二次型22123121323(,,)24fxxxxxaxxxx的负惯性指数为1，则a的取值范围是_________（14）设总体X的概率密度为222(;)30xxfx其它，其中是未知参数,12,,...,,nXXX为来自总体X的简单样本，若21niicx是2的无偏估计，则c=_________三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限12121lim1ln(1)xtxtetdtxx（16）（本题满分10分）设平面区域22{(,)|14,0,0}Dxyxyxy，计算22sin().Dxxydxdyxy（17）（本题满分10分）设函数()fu具有2阶连续导数，(cos)xzfey满足cos-sin(4cos)xxzzyyzeyexy，若(0)0,'(0)0ff，求()fu的表达式。（18）（本题满分10分）求幂级数0(1)(3)nnnnx的收敛域及和函数。（19）（本题满分10分）设函数(),()fxgx在区间[,]ab上连续，且()fx单调增加，0()1gx，证明：（I）0(),[,];xagtdtxaxab（II）()()()().baagtdtbaafxdxfxgxdx（20）（本题满分11分）设123401111203A，E为3阶单位矩阵。①求方程组0Ax的一个基础解系；②求满足ABE的所有矩阵B（21）（本题满分11分）证明n阶矩阵111111111与00100200n相似。（22）（本题满分11分）设随机变量X的概率分布为P{X=1}=P{X=2}=12，在给定Xi的条件下，随机变量Y服从均匀分布(0,)(1,2)Uii（1）求Y的分布函数()YFy（2）求EY（23）（本题满分11分）设随机变量X与Y的概率分布相同，X的概率分布为12{0},{1},33PXPX且X与Y的相关系数12XY（1）求（X，Y）的概率分布（2）求P{X+Y1}2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）A（2）C（3）D（4）C（5）B（6）A（7）（B）（8）（C）二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）pdpdR440（10）223ln（11）21a（12）)e(121（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112uelimuuelimx)e(xlim,xux)e(xlimxtdtdtt)e(lim)xln(xdt]t)e(t[limuuuuxxxxxxxxx则令（16）【答案】432131211112020212021202120212021d)(dsincoscos)dcoscos(dsincoscoscosddsincoscosdsindsincoscosdsincossincosd（17）【答案】ycose)ycose(fxExx)ycos(e)ycose(fysine)ycose(fyE)ysin(e)ycose(fyEycose)ycose(fycose)ycose(fxExxxxxxxxxx22222222ycose)ycose(f)ycose(fe)ycoseE(e)ycose(fyExExxxxxxx44222222令uycosex，则u)u(f)u(f4，故)C,C(,ueCeC)u(fuu为任意常数2122214由,)(f,)(f0000得4161622uee)u(fuu（18）【答案】由13142)n)(n()n)(n(limn，得1R当1x时，031n)n)(n(发散，当1x时，0311nn)n)(n()(发散，故收敛域为),(11。0x时，)x(s)x(x))x(xx())xx(x())x(x())dxx)n((x()x)n(x()x)n(()dxx)n()n((x)n)(n(nnnxnnnnnnxnnn322303002020100013123111313131331。0x时，3)x(s，故和函数313)x(x)x(s，),(x11（19）【答案】证明：1）因为10)x(g，所以有定积分比较定理可知，xaxaxadtdt)t(gdt10，即xaaxdt)t(g0。2）令}]dt)t(ga[f)x(f){x(g)x(g]dt)t(ga[f)x(g)x(f)x(F)a(Fdt)t(fdt)t(g)t(f)x(Fxaxadt)t(gxaxaxa0由1）可知xaaxdt)t(g，所以xaxdt)t(ga。由)x(f是单调递增，可知0xa]dt)t(ga[f)x(f由因为10)x(g，所以0)x(F，)x(F单调递增，所以0)a(F)b(F，得证。（20）【答案】①1,2,3,1T②123123123123261212321313431kkkkkkBkkkkkk123,,kkkR（21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。（22）【答案】（1）0,0,3,01,4111,12,221,2.YyyyFyyyy（2）34（23）【答案】（1）YX010291911959（2）49